高考全国卷中解三角形解答题的命题动向分析-《中学生数理化》高考数学2024年1月刊

■郑州市第十一中学 刘素芳 解三角形解答题是每年高考全国卷必考 的内容之一,考查的内容不是很多,也不复杂, 并且很稳定。主要包括正余弦定理、三角形面 积公式、和角与差角公式、诱导公式、同角公式 与基本关系、三角形有关角的函数值等解三角 形的核心内容。试题的呈现一般是限定条件 构造一个三角形便自然地给出了一个三角函 数背景,通过解三角形并解决有关问题,不仅 能兼顾对三角函数、三角变换等知识的考查, 还能考查代数推理能力,以及转化与化归、函 数与方程等思想方法。 一、方程视角下的解三角形 利用主要的三角公式、正余弦定理、三角形 面积公式、三角形的特征线等列相关元素的方 程,而后解三角形,这是高考全国卷的命题热点 问题,不仅能很好地考查三角基本公式、正余弦 定理、三角形面积公式等基本知识,还可以考查 考生综合运用基础知识解决问题的能力。 例 1 记△ABC 的内角A,B,C 所对 的边分别为a,b,c,若b+c=2asinC+ π 6 。 (1)求A; (2)设 AB 的中点为D,若 CD=a,且 b-c=1,求△ABC 的面积。 解析:(1)由已知得b+c= 3asin C+ acos C,由 正 弦 定 理 得 sin B+sin C= 3sin Asin C+sin Acos C。 因为A+B+C=π,所以sin B=sin(A +C)=sin Acos C+cos Asin C。 所以sin Acos C+cos Asin C+sin C= 3sin Asin C+sin Acos C,即cos Asin C+ sin C= 3sin Asin C。 又因为C∈(0,π),所以sin C≠0,所以 3sin A-cos A=1,即sinA- π 6 =12。 因为A∈(0,π),所以- π 6<A- π 6< 5π 6 ,所以A- π 6= π 6 ,解得A= π 3 。 (2)在△ACD 中,由余弦定理得,CD2= b2+ c2 4-2b ·c 2cos A。因为 A= π 3 ,CD= a,所以a2=b2+ c2 4- bc 2 。 在△ABC 中,由余弦定理得,a2=b2+ c2-bc,所以b2+ c2 4- bc 2=b 2+c2-bc,即 3c2=2bc,所以b= 3c 2 。 因为b-c=1,所以b=3,c=2。 所以△ABC 的面积S= 1 2bcsin A= 33 2 。 评注:本题第一问的求解,首先利用正弦 定理将边化角,然后利用三角公式化简求得 角A 的大小;第二问引入三角形的中线得出 “爪形”三角形,再在两个三角形中利用余弦 定理列方程,然后解方程求得三角形的边,最 后问题落在三角形的面积公式上。在本题的 求解过程中,方程思想的味道很浓,对运算求 解能力要求较高。 例 2 已知△ABC 的内角A,B,C 所 对的边分别为a,b,c,且 A 为锐角,sin B- cos C= c2-a2 2ab 。 (1)求A; (2)若b= 3 4c ,且BC 边上的高为23, 求△ABC 的面积。 解析:(1)因为sin B-cos C= c2-a2 2ab , 所以2absin B-2abcos C=c2-a2。 6 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年1月 由余弦定理得2absin B+c2-a2-b2= c2-a2,所以2asin B=b。 由正弦定理得2sin Asin B=sin B,因为 B 是三角形的内角,所以sin B ≠0,所以 sin A= 1 2 。又因为A 为锐角,所以A= π 6 。 (2)由(1)及余弦定理得a2=b2+c2- 2bccos A= 3 16c 2+c2-2× 3 4c ·c·cos π 6= 7 16c 2,所以a= 7 4c 。 所以S△ABC= 1 2bcsin A= 1 2a×23 ,即 1 2× 3 4c 2× 1 2= 1 2× 7 4c×2 3 ,解得c= 47,所以b= 3 4c= 21 。 所以S△ABC= 1 2bcsin A= 1 2× 21× 47× 1 2=73 。 评注:本题第一问的求解,首先利用正弦 定理将边化角,然后利用三角公式化简求得 角A 的大小;第二问由三角形的面积公式列 相关方程。本题主要考查正弦定理、余弦定 理、三角形的面积公式。三角形的面积采取 了二次计算,通过不同的计算方法得出等式, 从而求解。这也是解此类问题的一种技巧。 二、函数视角下的解三角形 例 3 已知△ABC 的内角A,B,