突出本质，体现综合，重视应用，彰显素养-《中学生数理化》高二数学2024年1月刊

突出本质，体现综合，重视应用，彰显素养 ■河南省洛阳市第一高级中学 王伟琪 普通高中数学课程标准将数列内容纳入 函数主题中,其内容要求为:了解数列的概 念;探索并掌握等差数列和等比数列的变化 规律,建立通项公式和前n项和公式;能运用 等差数列、等比数列解决简单的实际问题和 数学问题;感受数列与函数的共性与差异,体 会数学的整体性。 随着高考评价改革、高中育人方式改革 的推进,高考试题的命制也发生了很大的变 化。近几年的高考数学试题全面考查数学抽 象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算 和数据分析的核心素养,体现基础性、综合 性、应用性和创新性的考查要求,突出理性思 维,发挥数学学科在人才选拔中的重要作用。 近几年高考数学试题的数列部分,能够准确 体现高考内容改革的要求,遵循高中数学课 程标准,考查“四基四能”,突出本质,体现综 合,重视应用,彰显素养。 一、考查数列基本量 此类问题主要考查数列的概念,数列的 通项及数列基本量的计算。 例 1 【2023年新课标Ⅰ卷第7题】记 Sn 为数列{an}的前n 项和,设甲:{an}为等 差数列;乙:Sn n 为等差数列,则( )。 A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的 必要条件 解析:(方法1)甲:{an}为等差数列,设 其首项为a1,公差为d。 则Sn=na1+ n(n-1) 2 d ,Sn n=a1+ n-1 2 · d= d 2n+a1- d 2 ,Sn+1 n+1- Sn n= d 2 。 故 Sn n 为等差数列,甲是乙的充分条 件。 反之,乙:Sn n 为等差数列,即Sn+1n+1-Snn = nSn+1-(n+1)Sn n(n+1) = nan+1-Sn n(n+1) 为常数。 设常数为t,即 nan+1-Sn n(n+1)=t ,则 Sn= nan+1-t·n(n+1),Sn-1=(n-1)an-t· n(n-1),n≥2。 两式相减得an=nan+1-(n-1)an- 2tn,即an+1-an=2t,对n=1也成立。 因此,{an}为等差数列,甲是乙的必要条 件。 故甲是乙的充要条件,选C。 (方法2)甲:{an}为等差数列,设数列 {an}的首项为a1,公差为d,即Sn=na1+ n(n-1) 2 d 。 则 Sn n =a1+ (n-1) 2 d= d 2n+a1- d 2 。 因此,Sn n 为等差数列,甲是乙的充分条件。 反之,乙:Sn n 为等差数列,不妨设公差 为m,即 Sn+1 n+1- Sn n=m ,Sn n=S1+ (n-1)m。 故Sn=nS1+n(n-1)m,Sn-1=(n-1)· S1+(n-1)·(n-2)m。 当n≥2时,以上两式相减得Sn-Sn-1= S1+2(n-1)m。 于是an=a1+2(n-1)m。 故an+1-an=a1+2nm-[a1+2(n-1)· m]=2m 为常数,{an}为等差数列,甲是乙的 必要条件。 故甲是乙的充要条件,选C。 二、考查等差数列和等比数列的性质 此类问题灵活考查等差数列和等比数列 的基本性质。 例 2 设等差数列{an}的前n 项和为 Sn,已知Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m= ( )。 A.3 B.4 C.5 D.6 21 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2024年1月 解析:(方法1)由题意得: (m-1)a1+ (m-1)(m-2) 2 ×d=-2 , ma1+ m(m-1) 2 ×d=0 , (m+1)a1+ m(m+1) 2 ×d=3 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 ⇒ d=1, a1=-2, m=5。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 选C。 (方法2)由题意得 am=2, am+1=3, d=1。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 m(a1+am) 2 =0⇒a1=-2 ,Sm=ma1+ m(m-1) 2 ×d=0⇒m=5 。故选C。 (方法3)设Sn=An2+Bn, Sn n =An+ B,则 三 点 m-1, -2 m-1 , (m,0), m+1, 3 m+1 共线。 故 2 m-1 1 = 3 m+1 1 ,解得m=5。选C。 三、考查{an}与Sn 的关系及数列求和 此类问题主要考查{an}与Sn 的关系及 数列求和的基本方法,如错位相减法、裂项 法、拆项法等。 例 3 【2021年全国乙卷理数第19 题】记Sn 为数列{an}的前n 项和,bn 为数列 {Sn}的前n项积,已知 2 Sn + 1 bn =2。 (1)证明:数列{bn}是等差数列; (2)求