抛物线最值问题的解题策略-《中学生数理化》高二数学2024年1月刊

抛物线最值问题的解题策略 ■河南省许昌高级中学 孙英环 抛物线是圆锥曲线的一种,了解抛物线 的定义、几何图形及其标准方程和性质,让同 学们主动寻找已有方法去研究所面对的新对 象,并在再次利用解析几何一般方法的基础 上,进一步深化对一般方法的理解,以提升同 学们的直观想象与数学建模能力。抛物线的 最值问题历来是高考的热点之一, 常以填空 题或解答题出现。下面就最值问题中常见题 型及方法进行总结,引导同学们在平时的学 习中学会总结反思。 一、巧用抛物线的定义求最值 例 1 设点P 是抛物线y2=4x 上的 一个动点。 (1)求点P 到A(-1,1)的距离与点P 到直线x=-1的距离之和的最小值; (2)已知点B(3,2),求|PB|+|PF|的 最小值,并求取得最小值时点P 的坐标。 解析:(1)如图1,易知抛物线的焦点为 F(1,0),准线方程为x=-1,由抛物线的定 义知点P 到直线x=-1的距离等于点P 到 焦点F 的距离。于是,问题转化为在抛物线 上求一点 P,使点 P 到点A(-1,1)的距离 与点P 到点F(1,0)的距离之和最小。显然, 连接AF 交抛物线于点P,此时距离之和最 小,最小值为 (-1-1)2+(1-0)2= 5。 图1 图2 (2)如图2,过点B 作BQ 垂 直准线于点 Q,交抛物线于点 P,则|PQ|=|PF|。此 时 |PB|+|PF|取得最小值,最小 值为3+1=4。 因为点 B(3,2),所以设点 P 的坐标为(x0,2)。代入抛物线方程y2= 4x,得22=4x0,解得x0=1。此时点P 的坐 标为(1,2)。 反思点评:(1)利用抛物线的定义把抛物 线上的点到准线的距离转化成它到焦点的距 离,快速求解;(2)利用抛物线的定义把抛物 线上的点到焦点的距离转化成它到准线的距 离,同时看清命题意图。 例 2 已知直线l1:4x-3y+11=0和 直线l2:x=-1,抛物线y2=4x 上一动点P 到直线l1 和直线l2 的距离之和的最小值是 。 解析:如图3所示,过点P 分别作PM⊥ l1,PN⊥l2,垂足分别为 M,N。 图3 设抛物线的焦点为F(1,0),由抛物线的 定义可得|PN|=|PF|。 故|PM|+|PN|=|PM|+|PF|,当 M,P,F 三点共线时,|PM|+|PF|取得最 小值,其最小值为点F 到直线l1 的距离,即 |FM|= |4-0+11| 42+32 =3。 反思点评:利用抛物线的定义把抛物线 上的点到两条直线的距离之和转化成点到直 线的距离,化陌生为熟悉。 二、巧用转化求最值 例 3 求抛物线y2=x 上的点到直线 x-2y+4=0的距离的最小值及此时点的坐 标。 解析:(方法一) 设(t2,t)为 抛 物 线 上 一 点,则 d= 02 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年1月 |t2-2t+4| 12+22 = |(t-1)2+3| 5 = (t-1)2+3 5 ≥ 35 5 ,当且仅当t=1时取等号 。 故最小值为 35 5 ,该点坐标为(1,1)。 (方法二) 设与直线x-2y+4=0平行且与抛物 线相切的直线为x-2y+b=0。 由 y2=x, x-2y+b=0 ⇒y2-2y+b=0。 Δ=4-4b=0,b=1。 故切线方程为x-2y+1=0,切点为(1,1)。 切点到直线x-2y+4=0的距离最小, 最小值为 35 5 。 反思点评:方法一把抛物线上的点到直 线距离的最值问题转化成二次函数的最值问 题,大大降低了难度;方法二平移直线,让直 线和抛物线相切,求切点坐标,把抛物线上的 点到直线距离的最值问题转化成点到直线的 距离问题,从而求解。 例 4 已知 M 是抛物线y2=2x 上一 点,N 是圆x2+(y-2)2=1关于直线x-y =0对称的曲线C 上任意一点,则|MN|的 最小值为 。 解析:圆x2+(y-2)2=1的圆心为(0, 2),半径为1。 易知圆心(0,2)关于直线x-y=0对称 的点为C(2,0)。 所以曲线C 的方程为(x-2)2+y2=1。 设 M(x,y)(x>0),则|MC|2=(x- 2)2+y2。 又y2=2x,所以|MC|2=(x-2)2+y2 =x2-2x+4=(x-1)2+3。 当x=1时,|MC|2min=3,|MC|min= 3。 所以|MN|min= 3-1。 反思点评:结合对称问题把抛物线上的 点到圆上点的距离的最值问题转化为抛物线 上的点到圆心的距离减去半径,把复杂的问 题简单化。 例 5 已知抛物线C:x2=8y 的焦点 为F,过点P(0,-1)斜率为k(k>0)的直线 l与抛物线C 交于A、B 两点,AB 的中点Q 到x 轴的距离为3,若