利用导数的几何意义的常见题型-《中学生数理化》高二数学2024年1月刊

■安徽省安庆市洪汪宝名师工作室 洪汪宝 可导函数y=f(x)的图像在点(x0, f(x0))处切线的斜率等于f'(x0)就是导数 的几何意义,于是可得到可导函数y=f(x) 的图像在点(x0,f(x0))处的切线方程为 y-f(x0)=f'(x0)(x-x0),求解时抓住切 点在函数y=f(x)的图像上,又在切线上, 切点处的导数值即为切线斜率这三点即可处 理与切线有关的问题。下面结合具体例题归 纳利用导数的几何意义的常见题型。 一、求切线方程 1.1求在某点处的切线方程 例 1 已知函数f(x)=2sin x x+1 ,则曲线y =f(x)在点(0,0)处的切线方程为 。 解 析: 因 为 f' (x ) = 2(x+1)cos x-2sin x (x+1)2 ,所以k=f'(0)=2, 故所求切线的方程为y=2x。 1.2求过某点的切线方程 例 2 已知曲线y=13x 3+ 4 3 ,求过点 P(2,4)且与曲线相切的切线方程。 解析:设曲线y= 1 3x 3+ 4 3 与过点P(2, 4)的切线相切于点A x0, 1 3x 3 0+ 4 3 。 则切线的斜率k=x20,即切线方程为y- 1 3x 3 0+ 4 3 =x20(x-x0)。 因点P(2,4)在切线上,故x30-3x20+4 =0,可化为x30+x20-4x20+4=0。 整理得(x0+1)(x0-2)2=0,则x0= -1或x0=2。 故所求切线的方程为4x-y-4=0或 x-y+2=0。 点评:注意在某点处的切线与过某点的 切线的区别:在某点处的切线,该点是切点, 一定在函数y=f(x)的图像上;过某点的切 线,该点不一定是切点,该点可能在函数y= f(x)的图像上,也可能不在。 二、已知切线求参数值(或范围) 例 3 已知曲线y=ax3 与直线6x- y-4=0相切,则实数a的值为 。 解析:设切点为(m,n),由y=ax3 得y' =3ax2。由题意得 3am2=6, 6m-n-4=0, n=am3, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得m= 1,n=2,a=2。 例 4 若直线y=2x+b 是曲线y= 2aln x 的切线,且a>0,则实数b的最小值 是 。 解析:y=2aln x 的导数为y'= 2a x 。由 于直线y=2x+b是曲线y=2aln x 的切线, 设切点为(m,n),则 2a m=2 ,m=a。又2m+b =2aln m,故b=2aln a-2a(a>0)。 令h(a)=2aln a-2a,h'(a)=2(ln a+ 1)-2=2ln a。当a>1时,h'(a)>0,h(a) 单调递增;当0<a<1时,h'(a)<0,h(a)单 调递减。a=1为极小值点,也为最小值点, 故h(a)的最小值为2ln 1-2=-2。 点评:已知切线求参数值(或范围),一般 先设出切点,利用导数的几何意义求出切线 方程,并与已知的切线方程进行对比,即可建 立方程,从而得解。 13 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年1月 三、切线条数问题 3.1判断切线条数 例 5 已知曲线S:y=3x-x3,则过 点P(2,2)可向曲线S 引切线,其切线条数为 ( )。 A.1 B.2 C.3 D.0 解析:设在曲线S 上的切点为(t,3t- t3)。已知y=3x-x3,则y'=3-3x2。 所以曲线S 在点(t,3t-t3)处的切线方 程为y-(3t-t3)=(3-3t2)(x-t)。 将点P(2,2)的坐标代入切线方程得 t3-3t2+2=0,即(t-1)(t2-2t-2)=0。 解得t1=1,t2=1+ 3,t3=1- 3。 因此过点P(2,2)可向曲线S 引3条切 线,选C。 3.2已知切线条数求参数值(或范围) 例 6 已知过点 M(m,0)作曲线C:y =x·ln x 的切线有且仅有两条,则实数 m 的取值范围是 。 解析:由题意可知,曲线C:y=x·ln x, 定义域为(0,+∞),则y'=ln x+1。 设切 点 为(x0,y0),则 切 线 斜 率 k= ln x0+1,切线方程为y-y0=(ln x0+1)· (x-x0)。将 M(m,0)代入切线方程得-y0 =(ln x0+1)(m-x0)。 又因为y0=x0·ln x0,所以 mln x0+ m-x0=0。 显然m≠0,整理得 1 m= ln x0+1 x0 。 由于过点 M(m,0)作曲线 C:y=x· ln x 的切线有且仅有两条,即 1 m= ln x0+1 x0 有两个解。 设g(x)= ln x+1 x (x>0),于