聚焦构造函数解决导数问题的常见题型-《中学生数理化》高二数学2024年1月刊

聚焦构造函数解决导数问题的常见题型 ■广东省汕头市澄海凤翔中学 徐春生 高考中有这样一类题型,题目中不给出具 体的函数解析式,而是给出函数f(x)及其导数 满足的条件,需要同学们据此条件构造抽象函 数,再根据条件得出构造函数的单调性,应用单 调性解决问题,该类试题具有一定的难度。 一、只含f'(x) 例 1 已知函数y=f(x)(x∈R)满足 f(2)=1,且f(x)的导函数f'(x)<1,则 f(x)>x-1的解集为( )。 A.(-2,2) B.(-∞,-2)∪(2,+∞) C.(-∞,2) D.(2,+∞) 解析:设 g(x)=f(x)-(x-1),则 g'(x)=f'(x)-1<0,所以g(x)在 R上单 调递减。因为f(2)=1,所以g(2)=f(2)- (2-1)=0。由f(x)>x-1,得g(x)>0, 解得x<2。所以f(x)>x-1的解集为 (-∞,2),选C。 点评:若f'(x)>k(或<k)(k≠0),则构 造函 数 F(x)=f(x)-kx 或 F (x)= f(x)-kx+b。 例 2 (多选题)设f(x),g(x)是定义 域为R且恒大于0的可导函数,若f'(x)· g(x)-f(x)g'(x)<0,则当a<x<b时有 ( )。 A.f(x)g(x)>f(b)g(b) B.f(x)g(b)>f(b)g(x) C.f(x)g(a)<f(a)g(x) D.f(x)g(x)<f(a)g(a) 解析:设 F(x)=f (x) g(x) ,则 F'(x)= f'(x)g(x)-f(x)g'(x) [g(x)]2 。由f'(x)g(x) -f(x)g'(x)<0,得F'(x)<0。所以F(x) 在R上单调递减。因为a<x<b,所以f (b) g(b) <f (x) g(x) <f (a) g(a) 。因为f(x),g(x)是定义域 为R且恒大于0的可导函数,所以f(x)· g(b)>f(b)g(x),f(x)g(a)<f(a)g(x), 选BC。 点评:若f'(x)+g'(x)>0(或<0),则 构造函数F(x)=f(x)+g(x);若f'(x)- g'(x)>0(或<0),则 构 造 函 数 F(x)= f(x)-g(x);若 f'(x)g(x)+f(x)· g'(x)>0(或<0),则构造函数F(x)=f(x)· g(x);若f'(x)g(x)-f(x)g'(x)>0(或< 0),则构造函数F(x)=f (x) g(x) (g(x)≠0)。 二、含f'(x)±f(x) 例 3 已知定义域为R的函数f(x)满足 f(x)<-f'(x),则下列式子成立的是( )。 A.f(2 023)>ef(2 024) B.f(2 023)<ef(2 024) C.ef(2 023)>f(2 024) D.ef(2 023)<f(2 024) 解析:依题意得f(x)+f'(x)<0,设g(x) =exf(x),则 g'(x)=exf(x)+exf'(x)= ex[f(x)+f'(x)]<0在R上恒成立,所以函数 g(x)=exf(x)在R上单调递减。 因为2 023<2 024,所 以 g(2 023)> g(2 024),即e2 023f(2 023)>e2 024f(2 024),也即 f(2 023)>ef(2 024),故选A。 点评:若f'(x)+nf(x)>0(或<0),则 构造函数F(x)=enxf(x),其中当n=1时, 构造函数F(x)=exf(x)。 例 4 若函数y=f(x)的定义域为R, 对于∀x∈R,f'(x)<f(x),且f(x+1)为 偶函数,f(2)=1,则不等式f(x)<ex 的解 集为( )。 A.(2,+∞) B.(0,+∞) C.(-∞,0) D.(-∞,2) 解析:设 g(x)= f(x) ex ,则 g'(x)= exf'(x)-exf(x) (ex)2 = f '(x)-f(x) ex 。 由 82 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年1月 f'(x)<f(x),得 f'(x)-f(x)<0, g'(x)<0,所以函数g(x)在 R上单调递减。 由f(x+1)为偶函数,得函数f(x)的图像关 于直线x=1对称。 因为f(2)=1,所以f(0)=1,g(0)= f(0) e0 =1。 不等式f(x)<ex 整理得 f(x) ex <1,即 g(x)<g(0),所以x>0。 所以不等式 f(x)<ex 的解集为(0, +∞),选B。 点评:若f'(x)-nf(x)>0(或<0),则 构造函数F(x)=f (x) enx ,其中当n=1时,构 造