2023年高考之导数考点解读-《中学生数理化》高二数学2024年1月刊

2023年高考之导数考点解读 ■许昌市高中数学胡银伟名师工作室 胡银伟 导数是研究函数的有力工具,导数与函 数、不等式、向量、解析几何、数列等知识的交 汇是高考命题的热点和难点,主要考查导数 的工具性,同学们的综合解题能力、数学的应 用意识及数学素养。 从高考命题形式及内容来看:选填题主 要考查导数概念、运算、性质与几何意义等; 解答题主要是以函数为载体,利用导数研究 函数的单调性、极值、最值,利用导数证明不 等式或探讨方程的根,利用导数求解参数的 值或取值范围等。从高考命题难度来看:导 数高考试题一般采取分层设问和螺旋式上升 的方式,即先以较易的问题考查同学们对基 础知识的掌握情况,再逐步增加难度,以逐步 提高同学们的解题能力和思维水平。总体而 言,导数高考命题具有较高的难度和综合性, 需要大家具备扎实的基础知识和较强的解题 能力。 下面我们结合2023年高考真题,对导数 高考考点进行解读。 考点一 对导数的几何意义的考查 例 1 【2023年全国甲卷文科第8题】 曲线y= ex x+1 在点 1, e 2 处的切线方程为 ( )。 A.y= e 4x B.y= e 2x C.y= e 4x+ e 4 D.y= e 2x+ 3e 4 命题意图:本题考查导数计算及导数的 几何意义等知识,考查数学运算的核心素养。 解题思路:先求函数的导函数,代入切点 的横坐标可得切点处的导数值,即切点处的 切线斜率,由直线方程的点斜式可得所求切 线的方程。 解析:因 为 y = ex x + 1 ,所 以 y'= ex(x + 1)-ex (x + 1)2 = xex (x + 1)2 ,k=y'|x=1= e 4 。 曲线y= ex x+1 在点 1, e 2 处的切线方程 为y- e 2= e 4 (x-1),即y= e 4x+ e 4 。选C。 考点解读:应用导数的几何意义解题时 应注意:1.求曲线的切线方程时要注意“过点 P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异,过 点P 的切线,点P 不一定是切点,点P 也不 一定在已知曲线上,而在点 P 处的切线,必 以点P 为切点;2.函数在某点处的导数值就 是对应曲线在该点处切线的斜率,切点既在 原函数的图像上也在切线上。 考点二 利用导数研究函数的单调性 例 2 【2023年全国乙卷理科第16 题】设a∈(0,1),若函数f(x)=ax+(1+ a)x 在(0,+∞)上单调递增,则a 的取值范 围是 。 命题意图:本题是考查利用导数研究函 数的单调性,考查逻辑推理及数学运算的核 心素养。 解题 思 路:原 问 题 等 价 于 f'(x)= axln a+(1+a)xln(1+a)≥0恒成立,据此 将所得不等式进行恒等变形,可得 1+a a x ≥ - ln a ln(1+a) 。由函数的单调性构建实数a的 不等式,解不等式得实数a的取值范围。 解析:由函数的解析式可得 f'(x)= axln a+(1+a)xln(1+a)≥0在区间(0, +∞)上 恒 成 立,则(1+a)xln(1+a)≥ -axln a,即 1+aa x ≥ - ln a ln(1+a) 在 区 间 (0,+∞)上恒成立。 故 1+a a 0 =1≥- ln a ln(1+a) 。 而a+1∈(1,2),故ln (1+a)>0,则: ln (a+1)≥-ln a, 0<a<1, 即 a (a+1)≥1, 0<a<1。 解得 5-1 2 ≤a<1 ,故实数a 的取值范 5 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2024年1月 围是 5-1 2 ,1 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 。 考点解读:已知函数的单调性,求参数的 取值范围,利用条件f'(x)≥0(或f'(x)≤ 0),x∈(a,b)恒成立,解出参数的取值范围 (一般可用不等式恒成立的理论求解),应注 意参数的取值是f'(x)不恒等于0的参数的 范围。 例 3 【2023年全国乙卷文科第20 题】已知函数f(x)= 1 x+a ln(1+x)。 (1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点 (1,f(1))处的切线方程; (2)若函数f(x)在(0,+∞)上单调递 增,求实数a的取值范围。 命题意图:本题考查导数的几何意义、利 用导数研究函数的单调性等知识,还考查逻 辑推理及数学运算的核心素养。 解题思路:(1)由题意首先确定导函数的 解析式,由导数的几何意义确定切线的斜率 和切点坐标,再求切线的方程;(2)原问题即 f'(x)≥0在区间(0,+∞)上恒成立,整理变 形可得g(x)=ax2+x-(x+1)ln(x+1)≥ 0在区间(0,