整体思想在三角函数中的应用-《中学生数理化》高一数学2024年1月刊

■吴 艳 三角函数中的公式较多,应用比较灵活, 不少同学由于公式使用不当,常常陷入复杂 的运算中。在解答某些三角函数问题时,若 能仔细观察题目,注意与已知条件的联系,实 现等价转化,采用整体思想进行求解,往往能 起到很好的效果。 应用1:整体思想在姊妹关系sinx± cosx,sinxcosx中的应用 例1 已知sinα+cosα= 6 3 ,0<α<π, 则sinα-cosα=( )。 A.- 23 3 B. 23 3 C.- 3 3 D. 3 3 解:由(cosα+sinα)2+(cosα-sinα)2 =2,直接使用整体思想求解。 由sinα+cosα= 6 3 ,平方得sinαcosα =- 1 6<0 ,所以sinα>0,cosα<0,所以 sinα-cosα>0。因为(sinα+cosα)2+ (cosα-sinα)2=2,且sinα+cosα= 6 3 ,所 以sinα-cosα= 23 3 。应选B。 提升:已 知 sinx ±cosx 的 值,求 sinxcosx 或cos2x 的值时,可利用(cosα+ sinα)2+(cosα-sinα)2=2,结合cos2α= (cosα+sinα)(cosα-sinα)求解,凸显整体 思想在姊妹关系sinx±cosx,sinxcosx 中 的应用。 变式1:已知sinθ+cosθ=- 1 5 ,θ∈(0, π),则sinθ-cosθ=( )。 A. 1 5 B.- 1 5 C. 7 5 D.- 7 5 提示:由(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ = 1 25 ,可得2sinθcosθ=- 24 25<0 ,所以θ∈ π 2 ,π ,可得sinθ>0,cosθ<0,所以sinθ- cosθ >0。 因 为 sinθ-cosθ 2 =1- 2sinθcosθ= 49 25 ,所以sinθ-cosθ= 7 5 。应 选C。 应用2:整体思想在三角函数性质中的 应用 例2 (多 选 题)已 知 函 数 f(x)= -2sin 57x+ π 3 +1,则下列关于f(x)的性 质描述正确的是( )。 A.f(x)关于点 2π 5 ,1 对称 B.f(x)的最小正周期为 14π 5 C.f(x)在 - 7π 6+ 7 5kπ ,7π 30+ 7 5kπ (k∈ Z)上单调递减 D.f(x)关于直线x= 7π 15 对称 解:对于A,令 5 7x+ π 3=kπ (k∈Z),可 得x=- 7π 15+ 7 5kπ (k∈Z),当k=1时,解得 x= 14π 15 ,所以对称中心为 14π 15 ,1 ,A错误。 对于B,T= 2π ω = 2π 5 7 = 14π 5 ,B正确。对于 C,令- π 2+kπ≤ 5 7x+ π 3≤ π 2+kπ (k∈Z), 可得- 7π 6+ 7 5kπ≤x≤ 7π 30+ 7 5kπ (k∈Z),C 正确。对于D,令 5 7x+ π 3= π 2+kπ (k∈Z), 可得x= 7π 30+ 7 5kπ (k∈Z),当k=0时,解得 x= 7π 30 ,所以对称轴为直线x= 7π 30 ,D错误。 应选BC。 提升:解答这类问题,可通过诱导公式或 三角恒等变换,将其转化为y=Asin(ωx+ 12 知识结构与拓展 高一数学 2024年1月 φ)+b或y=Acos(ωx+φ)+b的形式,结合 正余弦函数的图像与性质求解。 变式 2:已 知 函 数 f(x)=2cos π 4- 3x ,x∈ -π2,π2 ,则函数f(x)的单调递 增区间是( )。 A.- π 2 ,0 B.- π 4 ,π 12 C.- π 2 ,- π 4 ,π12,5π12 D.- π 4 ,π 12 ,5π12,π2 提示:函数f(x)=2cos π 4-3x 可化为 f(x)=2cos3x- π 4 ,可得单调增区间为 2kπ-π≤3x- π 4≤2kπ ,k∈Z,即 2 3kπ- π 4≤x≤ 2 3kπ+ π 12 ,k∈Z。当k=0时,可得 - π 4≤x≤ π 12 ,当k=1时,可得 5π 12≤x≤ 3π 4 。 因为x∈ - π 2 ,π 2 ,所以函数f(x)的单调 递增区间是 - π 4 ,π 12 ,5π12,π2 。应选D。 应用3:整体思想在三角函数的最值或 值域中的应用 例3 函数y=-sin2x+4cosx-6的 值域是( )。 A.2,10 B.0,10 C.-2,10 D.-10,-2 解:由 sin2x +cos2x =1,可 得 y= -sin2x+4cosx-6=co