四法破解一道高考绝对值不等式问题&2023年高考充要条件问题聚焦-《中学生数理化》高一数学2024年1月刊

■杜海洋 下面以一道含绝对值的高考试题为例进 行探究,与大家共同学习与交流。 1.考题再现 (2019年高考浙江卷)已知a∈R,函数 f(x)=ax3-x。若存在t∈R,使得|f(t+ 2)-f(t)|≤ 2 3 ,则实数a的最大值是 。 2.试题解析 解法1:存在t∈R,使得|f(t+2)- f(t)|≤ 2 3 ,即|a(t+2)3-(t+2)-at3+t| ≤ 2 3 ,可得|2a(3t2+6t+4)-2|≤ 2 3 ,所以 - 2 3≤2a (3t2+6t+4)-2≤ 2 3 ,即2 3≤a (3t2 +6t+4)≤ 4 3 。 因为3t2+6t+4=3(t+1)2+1≥1,所 以0<a≤ 4 3 ,所以a的最大值为 4 3 。 评注:先利用绝对值的性质去掉绝对值 符号,再利用非负数的乘积关系求出a 的取 值范围。解答本题的关键是函数的有界性的 应用。 解法2:存在t∈R,使得|f(t+2)- f(t)|≤ 2 3 ,即|a(t+2)3-(t+2)-at3+t| ≤ 2 3 ,所以|2a(3t2+6t+4)-2|≤ 2 3 ,去绝 对值符号得- 2 3≤2a (3t2+6t+4)-2≤ 2 3 , 即 2 3≤a (3t2+6t+4)≤ 4 3 。由3t2+6t+4 =3(t+1)2+1≥1,可得 2 3(3t2+6t+4) ≤a≤ 4 33t2+6t+4 ≤ 4 3 ,所以a的最大值为 4 3 。 评注:先利用绝对值的性质去掉绝对值 符号,再利用函数值域成功进行变量分离,最 后结合有界性求得结果。解法2是一种通性 通法,即分离变量法的灵活运用。 解法3:结合解法2得 2 3≤a (3t2+6t+ 4)≤ 4 3 ,即得关于t的不等式9at2+18at+ 12a-4≤0成立,则Δ=(18a)2-4×9a× (12a-4)≥0,解得0≤a≤ 4 3 。同理得关于t 的不等式9at2+18at+12a-2≥0成立,则 Δ=(18a)2-4×9a×(12a-2)≥0,解得0≤ a≤ 2 3 。综上得实数a的最大值为 4 3 。 评注:解法3是利用不等式成立的条件 进行求解的,结果取两个不等式的并集,原因 是题设条件为存在实数t。 解法4:结合解法2得 2 3≤a (3t2+6t+ 4)≤ 4 3 。3t2+6t+4=3(t+1)2+1≥1,令 n=3(t+1)2+1≥1,原不等式转化为存在 n∈[1,+∞),|an-1|≤ 1 3 ,即- 1 3≤an- 1≤ 1 3 ,所以2 3n≤a≤ 4 3n 。易得当n=1时,实 数a的最大值为 4 3 。 评注:解法4与解法1类似,重点突出整 体代换法的应用。当代数式不易化简且又复 杂时,利用整体代换法可大大降低思维的难 度,提高解题效率。 3.解题感悟 在考题向多样化发展的趋势下,同学们 在掌握基本知识和本质解法的基础上还需适 当进行总结。题中涉及函数与不等式的关 系,其中函数的值域是本题最终的落脚点,去 掉绝对值符号是解题的首要突破点,进一步 的重心是怎样解不等式。 作者单位:成都经济技术开发区实验中学校 (责任编辑 郭正华) 83 创新题追根溯源 高一数学 2024年1月 ■石汉荣 2023年高考对充要条件的考查主要围 绕“充要条件与等式或不等式、充要条件与三 角函数”的交汇,凸显充要条件的工具性。充 要条件主要用来区分命题的条件和结论之间 的关系,下面聚焦2023年高考中的充要条件 问题,供大家学习与参考。 聚焦1:充要条件与等式或不等式的交 汇问题 例1 (2023年新高考天津卷)“a2=b2” 是“a2+b2=2ab”的( )。 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解:由a2=b2,即(a+b)(a-b)=0,解 得a=-b或a=b。由a2+b2=2ab,即(a- b)2=0,解得a=b。由a2=b2 不能推出a2+ b2=2ab,即充分性不成立。 由a2+b2=2ab 能推出a2=b2,即必要 性成立。 故“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要而 不充分条件。应选B。 体验:判断充要条件时,先看由条件能否 推出结论,再看由结论能否推出条件,能推出 一定要说明原因,推不出一定要举出反例,只 有这样才能避免出错。充要条件与等式或不 等式的交汇,既考查充要条件的意义,又考查 等式或不等式的性质。 变式1:若xy≠0,则“x+y=0”是“ x y + y x=-2 ”的( )。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 提示:(方法1)因为xy≠0,且 x y +yx= -2,所以x2+y2=-2x