深化周期理解 促进思维生长&基本不等式求最值的四类经典问题-《中学生数理化》高一数学2024年1月刊

■谢晓丰 三角函数的性质是高考的重要考点,周 期性作为三角函数的性质之一,有其自身的 规律和特点。下面结合不同题型,分析三角 函数的周期性问题的求解方法与技巧。 题型1:根据结论求三角函数的周期 例1 求函数f(x)=sin π 3+4x + sin4x- π 6 和 函 数 g (x)= cos4x - 2sinxcosx-sin4x 的最小正周期。 解:因为f(x)=sin 4x- π 6 +π2 + sin 4x- π 6 =cos 4x-π6 +sin 4x- π 6 = 2sin 4x-π6 +π4 = 2sin4x+ π 12 ,所以f(x)的最小正周期为2π4=π2。 因为函数g(x)=(cos2x-sin2x)(cos2x +sin2x)-sin2x=cos2x -sin2x = 2cos2x+ π 4 ,所以g(x)的最小正周期为 2π 2=π 。 点睛:函数y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)和y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的 周期都等于 2π ω ,函数y=Atan(ωx+φ)(A> 0,ω>0)的周期等于 π ω 。 题型2:根据周期的定义求三角函数的 周期 例2 求下列函数的最小正周期。 (1)f(x)= 2sinx+1 。 (2)f(x)= sinx +cosx。 解:(1)因 为 f (x + 2π) = 2sin(x+2π)+1 = 2sinx+1 =f(x), 所以函数f(x)的最小正周期为2π。 (2)因为f(x+2π)= sin(x+2π)+ cos(x+2π)= sinx +cosx=f(x),所以 函数f(x)的最小正周期为2π。 点睛:求三角函数的周期常用两种方法, 一是定义法,二是图像法。 题型3:函数的周期性与其他性质之间 的联系 例3 已知函数f(x)是定义在 R上周 期为2的奇函数,若f(0.5)=1,求f(1), f(3.5)的值。 解:(方法1)由已知可设函数f(x)= sin(πx),所以f(1)=sinπ=0,f(3.5)= sin 7π 2=-1 。 (方法2)因为函数f(x)是定义在 R上 周期为2的奇函数,所以f(1)=f(1-2)= f(-1)=-f(1),即f(1)=0。 因为 f(0.5)=1,所 以 f(3.5)= f(3.5-4)=f(-0.5)=-f(0.5)=-1。 点睛:本题以抽象函数为载体,考查函数 的周期性与奇偶性。 题型4:根据函数的周期性求参数的范围 例4 已知函数y=sinωx+ π 6 (ω> 0)在区间 - π 4 ,2π 3 上单调递增,则ω 的取 值范围为( )。 A.0, 8 3 B.0,12 C.12 ,8 3 D.38,2 解:由题意知2π 3- - π 4 =11π12≤T2= π ω ,所 以 ω≤ 12 11 ,可 取 ω=1,则 f(x)= sinx+ π 6 在区间 π3, 4π 3 上单调递减,与 题设条件矛盾,故ω≠1。应选B。 点睛:利用三角函数的周期性与单调性 的关系,结合已知条件和图像变换规律求出 ω 的临界值,从而确定ω 的取值范围。 作者单位:江苏省锡东高级中学 (责任编辑 郭正华) 44 经典题突破方法 高一数学 2024年1月 ■宫吉新 不等式求最值的实质是 ab≤ a+b 2 ≤ a2+b2 2 (a,b>0),ab≤ a+b2 2 ≤ a2+b2 2 (a,b∈R)的灵活应用。下面将对基本不等 式求最值的经典问题进行归纳提炼,期望大 家通过练习、感悟,能打通自己思维的“堵 点”,提升对基本不等式的应用能力。 经典1:基本不等式之直接法求最值 例1 已知正实数a,b满足 a 4+ b 5=1 , 则ab的最大值为 。 解:利用基本不等式直接求解。因为正 实数a,b满足1= a 4+ b 5≥2 ab 20 ,当且仅当 a 4= b 5 ,a 4+ b 5=1 ,即a=2,b= 5 2 时取等 号,所以ab≤5,即ab的最大值为5。 感悟:利用基本不等式求最值,不仅要求 “一 正,二 定,三 相 等”,而 且 顺 序 也 不 能 变———先要求“正”,再要求“定”,最后研究取 等号的条件是否满足。 变式1:(多选题)下列命题中正确的是 ( )。 A.当x>1时,x+ 1 x 的最小值是2 B.存在实数x,使得不等式x+ 1 x≤2 成立 C.若x,y∈R,则xy≤ (x+y)2 2 D.若x>0,y>0,且x+y=16,则xy≤64 提示:当x>1时,x+ 1 x≥2 x ·1 x = 2,当且仅当x=1时等号成立,即当x>1 时,