三角恒等变换考点透析-《中学生数理化》高一数学2024年1月刊

■刘长柏 高考对三角恒等变换的考查题型主要是 三角函数式的化简、求值或求角,凸显逻辑推 理、数学运算的核心素养。下面就三角恒等 变换的常见考点进行举例分析,以期对同学 们的学习有所帮助。 考点1:给值求值 在应用三角函数公式求值时,一要注意 解题的规范性,二要注意角的范围对三角函 数值的符号的影响。 例1 已知α∈ - π 2 ,0 ,sinα-π3 + 3cosα= 1 3 ,则sinα= 。 解:因为sinα- π 3 + 3cosα=sinα· cos π 3-cosαsin π 3+ 3cosα= 1 2sinα+ 3 2cosα=sinα+ π 3 =13,又-π6<α+π3 < π 3 ,所以cosα+ π 3 = 1-sin2 α+π3 = 22 3 ,所 以sinα=sin α+ π 3 -π3 = sinα+ π 3 cos π3 -cos α+π3 sin π3 = 1-26 6 。 给值求值的关键是找出 已知式与待求式之间的联系 及函数的差异。解答给值求值问题,一般可 适当变换已知式,求出另外函数式的值,以备 应用;变换待求式,便于将已求得的函数式的 值代入,达到求值的目的。 考点2:凑角求值 凑角求值的关键是利用已知条件,进行 角的变换。 例2 cos10° 2sin10°-2cos10°= ( )。 A. 3 2 B.2 C.3 D.2 解: cos10° 2sin10° - 2cos 10° = cos10°-4sin10°cos10° 2sin10° = cos10°-2sin20° 2sin10° = cos10°-2sin30°-10° 2sin10° = cos10°-cos10°-3sin10° 2sin10° = 3 2 。应选A。 当“已 知 角”有 两 个 时, “所求角”一般表示为两个“已 知角”的和或差的形式;当“已知角”有一个 时,应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差 的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成 “已知角”。 考点3:给值求角 给值求角的实质是转化为给值求值,解 题的关键是先求出所求角的某一种三角函数 值,再确定所求角的取值范围,最后求出角的 大小。 例3 已知cosα= 25 5 ,sinβ= 10 10 ,且 α∈ 0, π 2 ,β∈ 0,π2 ,则 α+β 的 值 是( )。 A. 3π 4 B. π 4 C. 7π 4 D. 5π 4 解:因为α∈ 0, π 2 ,β∈ 0,π2 ,所以 sinα= 1-cos2α= 5 5 ,cosβ= 1-sin2β = 3 10 10 ,所 以 cosα+β =cosαcosβ- sinαsinβ= 25 5 × 3 10 10 - 5 5× 10 10 = 2 2 。 又α+β∈ 0,π ,所以α+β= π 4 。应选B。 已知三角函数的值求角, 选三角函数时可按下列规则: 已知正切值,常选正切函数;已知正、余弦值, 9 知识结构与拓展 高一数学 2024年1月 常 选 正 弦 或 余 弦 函 数;若 角 的 范 围 是 0, π 2 或 π,3π2 ,常选正弦或余弦函数;若 角的范围是 π 2 ,3π 2 或 -π2,π2 ,常选正弦 函数;若角的范围是(0,π)或(π,2π),常选余 弦函数。 考点4:开放性问题 三角恒等变换是高考的常考点,其中创 新问题和开放性问题是高考的热点。 例4 三角恒等变换内容丰富,公式多, 变换多。若仔细观察、大胆猜想、科学求证, 你也能发现其中的一些奥秘。请你完成以下 问题: (1)计算 cos2° sin47°+ cos88° sin133°= ,cos5° sin50° + cos85° sin130°= ,cos12° sin57°+ cos78° sin123°= 。 (2)根据(1)的计算结果,请你猜出一个 一般性的结论。(用数学式子加以表达,并证 明你的结论,写出推理过程) 解:(1) cos2° sin47°+ cos88° sin133°= cos2° sin47°+ cos90°-2° sin180°-47° = cos2° sin47° + sin2° sin47° = cos2°+sin2° sin47° = 2 2 2cos2°+ 2 2sin2° sin47° = 2sin45°cos2°+cos45°sin2° sin47° = 2sin47° sin47° = 2。 同 理 可 得,cos5° sin50°+ cos85° sin130°= 2 , cos12° sin57°+ cos78° sin123°= 2 。