巧用1解题&转化与化归思想在函数中的应用-《中学生数理化》高一数学2024年1月刊

■黄 炜 “1”是最小的正整数,巧用“1”的代换,可 以解决有些数学问题,且能使运算由繁变简。 一、巧用“1”求值 例1 (lg5)2+2lg2-(lg2)2= 。 原式=(lg5)2+(2-lg2)· lg2=(lg5)2+(1+lg5)lg2= (lg5)2+lg2·lg5+lg2=(lg5+lg2)· lg5+lg2=lg5+lg2=1。 评注:熟记lg2+lg5=1是解答本题的 关键。 二、巧用“1”求最值 例2 已知x>0,y>0,且 1 x+ 9 y =1, 则x+y 的最小值为 。 因为 1 x+ 9 y =1,所以x+ y=(x+y)· 1 x+ 9 y =10+yx +9xy 。因 为 x >0,y >0,所 以 y x + 9x y +10≥ 2 yx ·9x y +10=16,当且仅当yx = 9x y ,即 y=3x,结合 1 x+ 9 y =1,可得x=4,y=12时 取“=”。故x+y 的最小值为16。 评注:常数代换法,主要解决形如“已知 x+y=t(t为常数),求 a x+ b y 的最值”问题, 可先将 a x+ b y 转化为 a x+ b y ·x+yt ,再利 用基本不等式求最值。 三、巧用“1”求三角函数的值 例3 已知2cos2α-3sinαcosα= 9 10 ,则 tanα= 。 由题意可知,cosα≠0,所 以2cos2α -3sinαcosα = 2cos2α-3sinαcosα sin2α+cos2α = 2-3tanα tan2α+1 = 9 10 ,整 理 得 9tan2α+30tanα-11=0,即(3tanα-1)(3tanα+ 11)=0,解得tanα= 1 3 或tanα=- 11 3 。 评注:形如asin2α+bsinαcosα+ccos2α 的求值问题,可将其看成分母为1的分式,再 将分母变形为sin2α+cos2α,即转化为形如 asin2α+bsinαcosα+ccos2α sin2α+cos2α 的式子后求值。 四、巧用“1”比较大小 例4 设a=log20.3,b=log1 2 0.4,c= 0.40.3,则a,b,c的大小关系为( )。 A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.a<c<b 因为log20.3<log21=0,所 以 a<0。因 为 log1 2 0.4= -log20.4=log2 5 2>log2 =1 ,所以b>1。 因为0<0.40.3<0.40=1,所以0<c<1,所以 a<c<b。应选D。 评注:若对数的底数与真数都不同,则常 借助“1”“0”等中间量进行比较大小。 五、巧用“1”证明等式 例5 求证: 1+sin2θ-cos2θ 1+sin2θ+cos2θ=tanθ 。 证明:左边= sin2θ+cos2θ+sin2θ-cos2θ sin2θ+cos2θ+sin2θ+cos2θ = sin2θ+cos2θ+sin2θ+sin2θ-cos2θ sin2θ+cos2θ+sin2θ+cos2θ-sin2θ = sin2θ+2sin2θ sin2θ+2cos2θ = 2sinθ(cosθ+sinθ) 2cosθ(sinθ+cosθ) = sinθ cosθ=tanθ= 右边。 所以 1+sin2θ-cos2θ 1+sin2θ+cos2θ=tanθ 。 评注:证明时,可从左向右证,也可从右向 左证,无论哪种方法都需要利用“1”的代换。 作者单位:湖北省恩施土家族苗族自治 州高级中学 (责任编辑 郭正华) 6 知识结构与拓展 高一数学 2024年1月 ■张卫青 应用1:利用转化与化归思想解决不等 式问题 例1 若实数x,y 满足2020x-2020y <2021-x-2021-y,则( )。 A.lnx-y <0 B.lnx-y >0 C.lny-x+1 <0 D.lny-x+1 >0 分析:构 建 函 数 f (x)=2020x - 2021-x,结合单调性得x<y,再结合对数函 数的单调性逐项分析与判断。 解:因 为2020x -2020y <2021-x - 2021-y,所以2020x-2021-x <2020y - 2021-y。 构造函数f(x)=2020x-2021-x,则 f(x)在R上单调递增,所以f(x)<f(y), 所以x<y。对于 A,B,由 x-y >0,无法 确定 x-y 与1的大小关系,因此也无法确 定lnx-y 与ln1=0的大小关系,A,B错 误。对于C,D,由y-x+1>1,g(t)=lnt 在定义域上单调递增,可得ln(y-x+1)> ln1=0,C错误,D正确。应选D。 升华:对于多个变量的不等式