例说分类讨论思想在解题中的应用-《中学生数理化》高一数学2024年1月刊

■洪高翔 把所研究的问题根据题目的特点和要 求,分成若干类,转化成若干个小问题来解 决,这种按不同情况分类,再逐一研究解决问 题的数学思想,称为分类讨论思想。下面就 分类讨论思想在解题中的应用,进行举例分 析,供大家学习与提高。 一、对函数自变量的分类讨论 例1 已知函数f(x)对任意x∈R,都 有f(x)=- 1 2f (x+2),当x∈[0,2]时, f(x)=-x2+2x,则函数f(x)在[-2,6]上 的值域为( )。 A.[0,1] B.- 1 2 ,0 C.[-2,0] D.[-2,4] 解:当x∈[0,2]时,f(x)=-x2+2x= 1-(x-1)2∈[0,1],则当x∈[-2,0],即 x+2∈[0,2]时,f(x)=- 1 2f (x+2)∈ - 1 2 ,0 ;当x∈[2,4],即x-2∈[0,2]时, 由f(x)=- 1 2f (x+2),可得f(x+2)= -2f(x),即f(x)=-2f(x-2)∈[-2, 0];当x∈[4,6],即x-2∈[2,4]时,f(x)= -2f(x-2)∈[0,4]。 综上可得,函数f(x)在[-2,6]上的值 域为[-2,4]。应选D。 评注:解决分段函数的策略就是“分段函 数,分段解决”。 二、对指数函数、对数函数的底数分类讨论 例2 设a>0,且a≠1,函数y=a2x+ 2ax-1在[-1,1]上的最大值是14,则实数 a的值为 。 解:令t=ax(a>0,且a≠1),则原函数 可化为f(t)=t2+2t-1=(t+1)2-2(t> 0)。 ①当0<a<1,x∈[-1,1]时,t=ax∈ a, 1 a ,此时f(t)在 a,1a 上为增函数,可 得f(t)max=f 1 a = 1a+1 2 -2=14,化简 得 1 a+1 2 =16,解得a=- 1 5 (舍去)或a= 1 3 。②当a>1,x∈[-1,1]时,t=ax∈ 1 a ,a ,此时f(t)在 1a,a 上是增函数,可 得f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14,即(a+ 1)2=16,解得a=3或a=-5(舍去)。 综上可得,a= 1 3 或a=3。 评注:指数函数y=ax 与对数函数y= logax 的底数a满足的条件是a>0且a≠1。 三、对二次函数的对称轴分类讨论 例3 若函数f(x)=x2-2x-2ax+2, x∈[1,2],则f(x)的最小值为 。 解:函数f(x)=x2-2x-2ax+2的对 称轴方程为x=a+1。 当a+1≤1,即a≤0时,f(1)=1-2a 为最小值;当1<a+1≤2,即0<a≤1时, f(a+1)=-a2-2a+1为最小值;当a+ 1>2,即a>1时,f(2)=2-4a为最小值。 综上 可 得,函 数 f(x)的 最 小 值 为 f(x)min= 1-2a(a≤0), -a2-2a+1(0<a≤1), 2-4a(a>1)。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 评注:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的对称轴方程为x=- b 2a (即顶点的横坐 标)。本题需要考虑- b 2a 在区间[1,2]上,或 在区间[1,2]外的情况。 四、对函数的值域分类讨论 例 4 已 知 函 数 f (x ) = ln(-x-1),x<-1, 2x+1,x≥-1, 若 函 数 g (x)= f[f(x)]-a有三个不同的零点,则实数a 的取值范围是 。 解:设t=f(x),令f[f(x)]-a=0,则 31 知识结构与拓展 高一数学 2024年1月 a=f(t)。在同一坐标系内,作出y=a,y= f(t)的图像(如图1)。 图1 由图可知,当a≥-1时,y=a 与y= f(t)的图像有两个交点,设交点的横坐标为 t1,t2(不妨设t2>t1),则t1<-1,t2≥-1。 当t1<-1时,t1=f(x),即t1=f(t)有 一解;当t2≥-1时,t2=f(x),即t2=f(t) 有两解。 综上可得,当a≥-1,即a∈[-1,+∞) 时,函数g(x)=f[f(x)]-a 有三个不同的 零点。 评注:题中t=f(x)的意义是函数f(x) 的值域。在复合函数中,内层函数的值域是 外层函数的定义域。 五、对参数的分类讨论 例 5 (1)已 知 角 α 的 终 边 过 点 P(-3a,4a)(a≠0),则2sinα+cosα的值为 。 (2 ) 化 简 sin 4k-14 π-α + cos4k+14 π-α (k∈Z)的结果为 。 解:(1)依题意得r= (-3a)2+(4a)2 =5|a|。 ①若a>0,则r=5a,角α在第二象限, 可得sinα=yr= 4a 5a= 4 5 ,cosα=