例说二次函数= ax²+bx+c(a≠0)在闭区间[m,n]上的最值问题&2023年高考三角函数问题聚焦-《中学生数理化》高一数学2024年1月刊

例说二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 在闭区间[m,n]上的最值问题 ■王岳军 闭区间上二次函数的最值问题,从数的 角度而言,与二次项系数a 的正负有关,与 - b 2a 的值有关,与- b 2a 的值和m,n的大小关 系有关;从形的角度而言,与二次函数的图像 的开口方向有关,与图像的对称轴x=- b 2a 有关,与对称轴和闭区间的位置关系有关。 例1 若函数f(x)=2x2-2ax+3在 [-1,1]上有最小值,记作g(a),求g(a)的 表达式。 解:此函数的图像开口向上,对称轴为 x= a 2 ,在区间[-1,1]上有最小值,下面分三 种情况讨论求解。 ①当 a 2≥1 ,即a≥2时,g(a)=f(1)= 5-2a;②当-1< a 2<1 ,即-2<a<2时, g(a)=f a 2 =-12a2+3;③当a2≤-1,即 a≤-2时,g(a)=f(-1)=5+2a。 故g(a)= 5-2a,a∈[2,+∞), - 1 2a 2+3,a∈(-2,2), 5+2a,(-∞,-2]。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 例2 若函数f(x)=- 1 2x 2+ 13 2 在区 间[a,b]上的最小值为2a,最大值为2b,求区 间[a,b]。 解:此函数的图像开口向下,对称轴为 x=0,下面分三种情况讨论求解。 ①当b≤0时,2a=f(a)=- 1 2a 2+ 13 2 , 2b=f(b)=- 1 2b 2+ 13 2 ,由此解得a=-2- 17,b=-2- 17,显然不符合a<b≤0。 ②当a≥0时,由题意及二次函数的单调 性得2a=f(b)=- 1 2b 2+ 13 2 ,2b=f(a)= - 1 2a 2+ 13 2 ,由此解得a=1,b=3。 ③当a<0<b时,由题意得2b=f(0)= 13 2 ,解得b= 13 4 。2a 为f(a)与f(b)中的较 小者,此时由f(a)-f(b)= 1 2 (a+b)(b- a),且b-a>0可知: 当a+b>0时,f(a)>f(b),2a=f(b) =- 1 2b 2+ 13 2 ,解得a= 39 64>0 ,此时a 的值 不存在; 当a+b=0时,f(a)=f(b),2a= f(a)=f(b)=2b,此时a的值不存在; 当a+b<0时,f(a)<f(b),2a=f(a) =- 1 2a 2+ 13 2 ,解得a=-2- 17。 综上 可 得,区 间 [a,b]为 [1,3]或 -2- 17, 13 4 。 例3 若函数y=log0.5(x2-ax+3a)在 区间[2,+∞)上是减函数,求实数a 的取值 范围。 解:要使此函数在区间[2,+∞)上有意 义,需满足f(x)=x2-ax+3a 在区间[2, +∞)上的最小值大于零。由f(x)的最小值 f(2)=4-2a+3a=4+a>0,解得a>-4。 结合复合函数的单调性知f(x)=x2- ax+3a在区间[2,+∞)上为增函数,且区间 [2,+∞)必在此抛物线的对称轴x= a 2 的右 侧,即a 2≤2 ,解得a≤4。 故实数a的取值范围为-4<a≤4。 作者单位:甘肃省酒泉市玉门油田第一中学 (责任编辑 郭正华) 14 创新题追根溯源 高一数学 2024年1月 ■陶江华 2023年高考对三角函数的考查主要围 绕“三角函数的图像与性质”展开,考查重点 为函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最 值、图像变换和零点,并常与三角恒等变换交 汇命题。 聚焦1:三角函数的周期性和对称性的 应用 例1 (2023年高考全国卷)若f(x)= (x-1)2+ax+sinx+ π 2 为偶函数,则a= 。 解:函数f(x)=x2+(a-2)x+1+ cosx 为偶函数,其定义域为 R。因为偶函数 +偶函数=偶函数,余弦函数y=cosx 为偶 函数,所以二次函数y=x2+(a-2)x+1为 偶函数,所以a-2=0,可得a=2。 体验:f(x)为奇函数⇔f(x)的图像关 于原点对称,f(x)为偶函数⇔f(x)的图像 关于y 轴对称。如果函数f(x)是偶函数,那 么f(x)=f(|x|)。既是奇函数又是偶函数 的函数只有一种类型,即f(x)=0,x∈D,其 中定义域D 是关于原点对称的非空数集。 聚焦2:三角函数在区间上的单调性和 最值 例2 (2023年高考上海卷)已知a∈R, 记y=sinx 在[a,2a]上的最小值为sa,在 [2a,3a]上的最小值为ta,则下列情况不可 能的是( )。 A.sa>0,ta>0 B.sa<0,ta<0 C.sa>0,ta<0 D.sa<0,ta>0 解:由给定区间,可知a>0。作出函数 y=sinx 的部分图像,如图1所示。 图1 区间[a,