集合，函数与不等式题型赏析&找准目标切入，分类讨论引领-《中学生数理化》高一数学2024年1月刊

■孙艳秋 一、集合与常用逻辑用语 例1 已知集合 A={x|log2(x+1)< 1},B={x||x-b|<a},且B 为非空集合。 (1)当b=2时,A∩B=⌀,求实数a 的 取值范围。 (2)若“a=1”是“A∩B≠⌀”的充分条 件,求实数b的取值范围。 解:(1)易得A={x|log2(x+1)<1}= {x|-1<x<1}。因为B={x||x-b|<a} ={x|b-a<x<a+b},又B 为非空集合, 所以a>0。当b=2时,B={x|2-a<x< 2+a}。 因为A∩B=⌀,所以2+a≤-1或2- a≥1,解得0<a≤1。故实数a 的取值范围 是(0,1]。 (2)若a=1,则B={x|b-1<x<b+ 1}。因为“a=1”是“A∩B≠⌀”的充分条件, 所以{x|-1<x<1}∩{x|b-1<x<b+1} ≠⌀。 当{x|-1<x<1}∩{x|b-1<x<b+ 1}=⌀时,可得b+1≤-1或b-1≥1,即 b≤-2或b≥2。 由补集思想可得,当-2<b<2时,{x| -1<x<1}∩{x|b-1<x<b+1}≠⌀,所 以实数b的取值范围是(-2,2)。 提炼:本题属于集合、常用逻辑用语与对 数函数、不等式的交汇问题。(2)问运用了补 集思想,起到了化难为易的效果。 二、一元二次函数、方程和不等式 例2 已知函数f(x)=ax2-4x-1。 (1)当a 取何值时,不等式f(x)<0对 一切实数x 都成立。 (2)若f(x)在区间(-1,1)内恰有一个 零点,求实数a的取值范围。 解:(1)当a=0时,-4x-1<0对一切 实数不成立,则a≠0。 当a>0时,二次函数的图像开口向上, 不满足f(x)<0对一切实数x 都成立; 当a<0时,由Δ=16+4a<0,解得a< -4。 故当a∈(-∞,-4)时,不等式f(x)< 0对一切实数x 都成立。 (2)当a=0时,由f(x)=-4x-1=0, 可得x=- 1 4 ,符合题意。 当a≠0时,①当Δ=16+4a>0,即a> -4时,若f(x)在(-1,1)内恰有一个零点, 则f(-1)f(1)<0,解得a∈(-3,0)∪(0, 5),符合题意;当a=-3时,由f(x)=-3x2 -4x-1=0,解得x=-1或x=- 1 3 ,则 x=- 1 3 ,符合题意;当a=5时,由f(x)= 5x2-4x-1=0,解得x=1或x=- 1 5 ,则 x=- 1 5 ,符合题意。②当Δ=16+4a=0, 即a=-4时,由f(x)=-4x2-4x-1=0, 解得x=- 1 2 ,符合题意。 综上可知,函数f(x)在区间(-1,1)内 恰有一个零点,实数a的取值范围为{-4}∪ [-3,5]。 提炼:(1)函数f(x)=ax2-4x-1是 “伪”二次函数,要注意讨论系数a=0的特殊 情况;(2)结合判别式及零点存在定理可求实 数a的取值范围。(2)问也可以利用分离参 数与数形结合法求解。 作者单位:江苏省无锡市第六中学 (责任编辑 郭正华) 3 知识结构与拓展 高一数学 2024年1月 ■陈渭渭 分类讨论思想是高考数学中经常用到的 基本数学思想方法之一,渗透于数学问题的 方方面面。利用分类讨论思想解决问题的关 键是找准切入目标,合理分类,实现问题的圆 满解决。 一、根据概念、法则、公式进行分类讨论 例1 (2023年新高考卷)设集合 A= {0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则 a=( )。 A.2 B.1 C. 2 3 D.-1 分析:从两集合间的包含关系入手,分析 集合间元素的关系,构建相应的方程,结合方 程所对应的参数值进行分类讨论求解。 解:由A⊆B,结合两集合之间元素的关 系得a-2=0或2a-2=0。 当a-2=0时,解得a=2,此时A={0, -2},B={1,0,2},不满足条件A⊆B,舍去; 当2a-2=0时,解得a=1,此时 A= {0,-1},B={1,-1,0},满足条件A⊆B。 综上可得,a=1。应选B。 题中两集合之间的包含 关系就是分类讨论解决问题 的基础条件,要注意问题的切入视角与应用 方式,不要出现重复或遗漏。 二、利用参数的取值、变量的变化进行分 类讨论 例2 关于x 的不等式mx2-mx+m+ 1>0 恒 成 立,则 实 数 m 的 取 值 范 围 为( )。 A.(0,+∞) B.[0,+∞) C.-∞,- 4 3 ∪(0,+∞) D.-∞,- 4 3 ∪[0,+∞) 分析:利用不等式恒成立,对二次项系数 进行分类讨论,借助二次函数的图像与性质 进行求解。 解:关于x 的不等式 mx2-mx+m+ 1>0恒成立,以下分