高一上学年期末专题复习与总结&例析有趣的高斯函数-《中学生数理化》高一数学2024年1月刊

■卢智军1 张文伟2 数学必修第一册是进入高中阶段学习的 基础知识,也是高一学习的重要知识,这部分 的主要内容有集合与常用逻辑用语,一元二 次函数,方程和不等式,函数的概念与性质, 指数函数与对数函数,以及三角函数。下面 就这部分知识进行复习与总结,希望对同学 们的学习有所帮助。 1.集合中元素的互异性 解决集合相等问题时,易产生与互异性 相矛盾的增解,这需要解题后进行检验。有 些集合问题很难从整体着手解决,可以分类 讨论进行求解。 例1 已知集合 A={12,a2+4a,a- 2},且-3∈A,则a=( )。 A.-1 B.-3或-1 C.3 D.-3 解:因为 A={12,a2+4a,a-2},且 -3∈A,所以a2+4a=-3或a-2=-3。 ①当a2+4a=-3时,即a2+4a+3= 0,解得a=-1或a=-3。若a=-1,则 A={12,-3,-3},不满足互异性,舍去。若 a=-3,则A={12,-3,-5},满足题意。 ②当a-2=-3时,解得a=-1,不符 合题意。 综上可得a=-3。应选D。 跟踪训练1:已知集合A={x,x+1,1}, B={x,x2+x,x2},且A=B,则( )。 A.x=1或x=-1 B.x=1 C.x=0或x=1或x=-1 D.x=-1 提示:当x=1时,集合 A={1,2,1}, B={1,2,1},不满足集合元素的互异性,排 除ABC。当x=-1时,A={-1,0,1},B= {-1,0,1},这时A=B。应选D。 2.“补集思想”的应用 求补集时,要注意全集是否为实数集。 利用数轴求解此类问题,要注意端点值能否 取到,可以采用代入验证的方法确定端点值。 例2 已知全集U=R,集合 A={x| x<3或x≥7},B={x|x<a}。若(∁UA)∩ B≠⌀,则实数a的取值范围为( )。 A.a|a>3 B.a|a≥3 C.a|a≥7 D.a|a>7 解:因为A={x|x<3或x≥7},所以 ∁UA={x|3≤x<7}。又(∁UA)∩B≠⌀,所 以a>3。应选A。 跟踪训练2:已知集合A={x|x>a+3 或x<a},B={x|2≤x≤4},若A∩B≠⌀, 求实数a的取值范围。 提示:A={x|x>a+3或x<a},B= {x|2≤x≤4},不妨考虑当A∩B=⌀时的情 况,如图1所示。 图1 结合图知 a≤2, a+3≥4, 可得1≤a≤2,所以 当A∩B=⌀时a 的取值范围为{a|1≤a≤ 2}。而当A∩B≠⌀时a的取值范围显然是 其补集,故所求a 的取值范围为{a|a<1或 a>2}。 3.利用集合之间的关系求参数 由包含关系确定集合中所含参数的值 (取值范围)是集合间关系的重要应用,一般 可借助数轴解决此类问题,且要注意空集的 情况。 32 知识结构与拓展 高一数学 2024年1月 例3 已知集合 A={x|-5≤x≤6}, B={x|2m-1≤x≤m+1}。若A∪B=A, 求实数m 的取值范围。 解:因为A∪B=A,所以B⊆A。①当 B=⌀时,2m-1>m+1,即m>2,此时B⊆ A 成 立;② 当 B ≠ ⌀ 时,由 题 意 可 得 2m-1≤m+1, 2m-1≥-5, m+1≤6, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得-2≤m≤2。综上可 得,实数m 的取值范围是{m|m≥-2}。 跟踪训练3:已知集合A={x|1<ax< 2},B={x|-1<x<1},满足A⊆B,求实数 a的取值范围。 提示:当a=0时,A=⌀,满足A⊆B;当 a>0时,A= x 1 a<x< 2 a ,由 A⊆B,可 得 1 a≥-1 , 2 a≤1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得a≥2;当a<0时,A= x 2 a<x< 1 a ,由A⊆B,可得 2 a≥-1 , 1 a≤1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解 得a≤-2。 综上可得,a=0或a≥2或a≤-2。 4.利用充分条件与必要条件求参数的值 或取值范围 解答这类问题的常用方法与步骤:化简 p,q两命题;根据p 与q的关系(充分、必要 条件),转化为集合间的关系;根据集合间的 关系,建立不等式组;求出参数的取值范围。 例4 是否存在实数p,使“4x+p<0” 是“x2-x-2>0”的充分条件? 如果存在, 求出p 的取值范围。 解:x2-x-2>0的解集是{x|x>2或 x<-1}。由4x+p<0,可得x<- p 4 。当 x<-p4 时,要使x>2或x<-1成立,需满 足-p4≤-1 ,即 p≥4。故 当 p≥4时, “4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件。 跟踪训练4:已知集合A={x|-2<x<