第25讲 数列与函数单调性讲义-2027届高三数学一轮复习

多想少算 · 数列 第 25 讲 · 把 n 看成 x 01 题眼 本讲只练一个动作 把通项写成 ，先看 在 [1,+∞) 上的升降，再回到整数点比较相邻两项。 数列的单调性，定义是 与 比大小。逐项作差、作商，当然能算；可当通项里同时出现 的多项式与指数、根式时，差式和商式会越写越长，最后往往不是不会判断，而是算到一半先乱了。 本讲只练一个动作： 把离散的 换成连续的 。主例中，常规解要解一个二次不等式，再把解集翻译成整数段；少算解只解一个一次方程，峰值位置一眼可见，最后只比较峰值两侧的两个整数。 连续看形状，离散定答案。两句话合起来，才是这一招的完整用法。 02 识别 不是所有数列都值得换成函数。通项是等差、等比这类“一步就能比”的，直接作差更快。出现下面三个信号，再动这个动作。 信号一 · 多项式乘指数。 通项形如 （ 较小， 且 ），如 、。作商后得到 ，解不等式要开 次方；求导后，符号只由一个一次因子决定。 信号二 · 幂指结构。 通项形如 ，或底数与指数都含 。直接作商无从下手；先取对数，把幂变成积。像 化到 ，升降只由 决定。 信号三 · 只问“哪一项”。 题目要的是最大项、最小项，或“从第几项起小于某个数”，不要求通项公式。连续函数先给出峰值，再回整数比较峰值两侧，正好回答“哪一项”。 图 1: 把 看成 的四个动作 动笔前的 30 秒 第 1 步 写函数：把 中的 全部换成 ，定义域取 [1,+∞)。 第 2 步 求导数：把 因式分解，只看决定符号的那个因子。 第 3 步 定峰值：解 ，判断峰值落在哪两个整数之间。 第 4 步 回整数：比较峰值两侧的整数项；若问单调性，按 的升降区间逐段翻译。 第 4 步不能省。连续函数的峰值通常不在整数处，而数列只认整数点；最后一步一定要回到 。 03 双解对照 同一道“最大项”，两条路的分岔口不在会不会求导，而在“先解不等式，还是先看形状”。 例题 · 多项式乘指数 求数列 的最大项。 先把题干里的“免费信息”读出来。 前三项是 ，，。峰的大致位置已经露头：在 与 之间。题干没有参数，答案就是一个整数位置加一个分数。 常规解 · 算：作商解二次不等式 作商： 令它大于 1： 为正整数，所以 时 ； 时 。于是 最大项为 这条路要走完四步：展开、移项、解二次不等式、把开区间翻译成整数段。任何一步不等号方向错，峰值就会偏一位。 图 2: 峰值落在 2 与 3 之间，最大项在整数点 3 少算解 · 想：先看连续峰值 第一步，写函数。 设 第二步，求导定形。 因为 ，，所以 的符号只由 决定。 第三步，定峰值。 令 ，得 由 得 ；由 得 。所以 且 在 上递增，在 上递减。 第四步，回整数。 峰在 2 与 3 之间，只比这两项： 又 时 递减，故 ； 时递增，故 。最大项为 两条路都在找“从哪一项开始掉头”。常规解把掉头位置藏在一个二次不等式的解集里，要先解出 ，再把区间翻译成 ；少算解把掉头位置直接写成 ，再用两个不等式把它夹在 2 与 3 之间。省掉的具体动作是：展开 、移项、解二次不等式、把区间翻译成整数。 为什么不用再算 ？因为 在 [3,+∞) 上已经递减， 之后一路走低。连续区间替我们看完了一整段，这就是“少算”的来源。 表 1: 两条路径的账本 维度 常规解 · 算 少算解 · 想 第一步 作商 ，与 1 比较 写 ，求导 关键难点 解 ，再翻译成 判断 运算量 步骤数 四步，含一次二次不等式 四步，含一次两点比较 主要风险 不等号方向错，区间取整偏一位 忘记比较峰值两侧的整数 04 迁移 换两个外壳，动作不变：先写 ，再看峰值或升降，最后回到整数。 （一）一次式乘指数：两个最大项 迁移一 求数列 的最大项。 少算解 · 想：峰值落在两项之间 设 ，则 令 ，得 。所以 在 上增，在 上减。峰值两侧的整数是 1 和 2： 故最大项有两个：。 峰不在整数处时，两侧的整数都可能取到最大值，不能只报一个。本题两侧恰好相等，属于“并列为最大”的情形。 （二）幂指结构：先取对数 迁移二 求数列 的最大项。 少算解 · 想：取对数再求导 幂与指数里都有 ，先取对数： 设 ，则 所以 在 上增，在 上减。由 得 再比较 与 ，得 ，故最大项为 。 取对数不改变先后： 最大， 就最大；比较根式由此变成比较两个整数。 05 边界 这一招最危险的失手，不是算错，而是把“连续单调”当成“离散单调”的充要条件。 反例 · 含参数的单调性 已知数列 （）是递增数列，求 的取值范围。 机械套用会漏解 设 。要让 在 [1,+∞) 上递增，需 于是 。 但 时，数列为 ，仍然递增；而 ，连续函数在起点附近是下降的。 只是充分条件，不是答案。 正确的读法。 回到相邻差： 要对一切 都为正，只需最小的一项（）为正： 时 ，不满足严格递增；若题目说“不递减”，才取 。 一句话： 导数管形状，差值管临界；离散的题，最后一步要回到整数。 06 自测 三题，限时 15 分钟。答案在文末第 08 节，先做完再对。 自测 1 求数列 的最大项。 自测 2 求数列 的最大项。 自测 3 证明：对任意整数 ，。 07 速查卡 表 2: 把 看成 ·速查卡 题面信号 先看什么 接下来做什么 还要补什么 通项 （多项式乘指数） 写 ，求导 看一次因子的符号，定峰值 峰值两侧整数都要比 通项 （幂指结构） 先取对数 化成 ，看 回代原数列比大小 问最大项、最小项、第几项 连续峰值的位置 峰值夹在哪两个整数间 比较两侧，别四舍五入 问单调性 的升降区间 逐段翻译成整数区间 端点与等号单独验 含参数求范围 导数只看形状 临界值回到 差分是充要，导数是充分 本讲结论 把 看成 ，是为了看形状；把 换回 ，才是答案。先求峰值或升降区间，再比较峰值两侧的整数；含参数时，临界值必须由 定。 回整数四问 本讲关键词：连续 · 峰值 · 整数点 · 取对数 · 差分 下一讲 · 先看两段 奇偶项分开看：奇数项、偶数项各成一支，先分别判断各自的规律，再合起来看整体。两段都看清，周期自然浮出来。 08 参考答案 自测 1　【答案】最大项为 。 【解析】 设 ，则 令 ，得 。故 在 上增、在 上减。峰值两侧的整数是 2 和 3：，。又 时 递减，，故最大项为 。 【路径回看】 峰 2.73 夹在 2 与 3 之间，两侧都要算； 后整段递减。 自测 2　【答案】最大项为 。 【解析】 设 ，则 。当 时，，故 ， 在 [1,+∞) 上递减。峰值在区间左侧，直接取端点：，，故最大项为 。 【路径回看】 驻点 不在定义域内；函数一路下降，首项最大。 自测 3　【答案】不等式成立； 时取等， 时不成立。 【解析】 设 （），则 。由 ，知 在 [3,+∞) 上递增。于是对 ，，即 。 【路径回看】 先证 在 [3,+∞) 上增，把“所有 ”压成“只验 ”； 取等、 不成立，故 5 是最小起点。 表 3: 三道自测的路径回看 题号 关键判断 用到的条件 补充验证 1 峰 2.73 在 2,3 间 2 峰在区间左侧 3 后 递增 学科网（北京）股份有限公司 $