多次变形，巧妙放缩——基本不等式的应用-《中学生数理化》高一数学2024年1月刊

■尤丽华 含有多元变量的代数式的最值(或取值 范围)问题,是一种常见的题型,也是高考命 题的热点之一。此类问题的形式多样,变化 多端,解法灵活多变,较难把握。 一、两步基本不等式的放缩 例1 已知a>0,b>0,则 1 a+ a b2 +b的 最小值为 。 分析:利用基本不等式分两步放缩与处 理,第一步消去参数a,第二步消去参数b,可 得代数式的最值;也可以通过巧妙配凑,利用 基本不等式分两步放缩与处理,可得代数式 的最值。 解:(分步消参法)已知a>0,b>0,利用 基本不等式得 1 a+ a b2 +b≥2 1 a ·a b2 +b= 2 b+b≥2 2 b ·b=22,当且仅当 1 a= a b2 且 2 b=b ,即a=b= 2时等号成立,所以 1 a+ a b2 +b的最小值为22。 (分拆放缩法)已知a>0,b>0,利用基 本不等式得 1 a+ a b2 +b= 1 a+ b 2+ a b2 + b 2≥ 2 1 a ·b 2+2 a b2 ·b 2=2 b 2a+2 a 2b= 2 b 2a+ a 2b ≥4 b2a· a2b=22,当 且仅当 1 a= b 2 ,a b2 = b 2 且 b 2a= a 2b ,即a=b= 2时等号成立,所以 1 a+ a b2 +b 的最小值为 22。 评析:分步消参法中,抓住代数式的基本 特征,通过两步走,合理消参,从而确定最值; 分拆放缩法中,抓住代数式的基本特征,巧妙 借助基本不等式进行放缩,从而确定最值。 从不同的思维视角入手,都可以实现基本不 等式的放缩与代数式最值的求解。 例2 设 x,y∈ 0, π 2 ,则 1cos2x+ 1 sin2xsin2ycos2y 的最小值为 。 分析:对于含有两个变量的三角函数式, 利用基本不等式分两次进行放缩,达到求解 最值的目的。 解:利用基本不等式和三角变换求最值。 因为 1 cos2x + 1 sin2xsin2ycos2y ≥ 1 cos2x + 1 sin2x· sin 2y+cos2y 2 2= 1 cos2x + 4 sin2x = sin2x+cos2x cos2x + 4sin2x+4cos2x sin2x = sin2x cos2x + 4cos2x sin2x +5≥2 sin2x cos2x ·4cos 2x sin2x +5=9,当且 仅当siny=cosy 且 sin2x cos2x = 4cos2x sin2x ,即y= π 4 且tanx= 2时等号成立,所以 1 cos2x + 1 sin2xsin2ycos2y 的最小值为9。 评析:根据三角函数式的结构特征,先消 参处理,再齐次化应用,两次利用基本不等式 进行放缩处理,最后求得最值。 例3 已知a,b,c是正实数,且b+c= 6,则 ac2+2a bc + 8 a+1 的最小值为 。 分析:通过恒等变形与转化,先利用基本 不等式进行合理分拆与消元处理,再结合代 数式的配凑与放缩,得到代数式的最值;也可 以利用常值代换,结合基本不等式进行放缩, 得到代数式的最值。 解:(分拆消参法)已知ac 2+2a bc + 8 a+1 51 知识结构与拓展 高一数学 2024年1月 = ac b + 2a bc+ 8 a+1=a c b+ 2 bc + 8a+1。利 用b+c= 6,结合基本不等式得 c b + 2 bc= c b+ 2· b+c 6 2 bc = c b+ (b+c)2 3bc = 4c 3b+ b 3c+ 2 3≥2 4c 3b ·b 3c+ 2 3=2× 2 3+ 2 3=2 ,当且 仅当 4c 3b= b 3c ,即b=2c时等号成立。再次利 用基本不等式得a cb+ 2 bc + 8a+1≥2a+ 8 a+1 = 2 (a+ 1) + 8 a+1 - 2 ≥ 2 2(a+1)· 8 a+1-2=2×4-2=6 ,当且 仅当2(a+1)= 8 a+1 ,即a=1时等号成立。 所以 ac2+2a bc + 8 a+1 的最小值为6,当且仅当 a=1,且b=2c= 26 3 时等号成立。 (常值代换法)由b+c= 6,可得2= 1 3× (6)2= 1 3 (b+c)2。利用基本不等式得 ac2+2a bc = a(c2+2) bc = ac2+ 1 3 (b+c)2 bc = a(4c2+b2+2bc) 3bc ≥ a(4bc+2bc) 3bc =2a ,当且 仅当4c2=b2,即b=2c时等号成立。再次利 用基本不等式得 ac2+2a bc + 8 a+1≥2a+ 8 a+1 =2(a+1)+ 8 a+1-2≥2 2 (a+1)· 8 a+1 -2=2×4-2=6