打造“模特”函数，巧解抽象函数-《中学生数理化》高一数学2024年1月刊

■赵荣涛 巧妙构造满足抽象函数的结构特征的具 体函数,是解决抽象函数问题的一种巧技妙 法。借助抽象函数的基本结构特征,选取与 之相吻合的“模特”函数(基本上以高中阶段 所学的基本初等函数为主,如一次函数、指数 函数、对数函数,以及三角函数等),结合系数 的配凑处理,实现抽象函数问题的圆满解决。 一、一次函数模型 例1 定义在 R 上的函数f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,有 f(x)<0成立,则不等式f(5-x2)+f(3x -x2)<0的解集为( )。 A.-∞, 5 3 B.-1, 5 2 C.(-∞,-1)∪ 52 ,+∞ D.53 ,+∞ 分析:由f(x+y)=f(x)+f(y),类比 并联想到一次函数模型,考虑“模特”函数为 正比例函数,利用条件确定正比例函数中k 的取值,代入对应的不等式进行求解。 解:由f(x+y)=f(x)+f(y),构建特 殊函数模型f(x)=kx,k≠0。 由条件知当x>0时,f(x)<0,取k= -1,则f(x)=-x,所以不等式f(5-x2)+ f(3x-x2)<0可化为-(5-x2)-(3x- x2)<0,整理得2x2-3x-5<0,解得-1< x< 5 2 。故不等式f(5-x2)+f(3x-x2)< 0的解集为 -1, 5 2 。应选B。 一次函数模型 f(x)= kx+b(k≠0),满足f(x+y) =f(x)+f(y)。解题时,抓住函数的单调 性、函数值的取值情况,确定系数k 的值,为 问题的进一步求解奠定基础。 二、指数函数模型 例2 已知定义域为 R的函数f(x)满 足:① 对 任 意 x,y∈R,有 f(x+y)= f(x)f(y)恒成立;②若x≠y,则f(x)≠ f(y)。以下选项表述不正确的是( )。 A.f(x)在R上是严格增函数 B.若f(3)=10,则f(6)=100 C.若f(6)=100,则f(-3)= 1 10 D.函数F(x)=f(x)+f(-x)的最小 值为2 分析:由f(x+y)=f(x)f(y),类比并 联想到指数函数模型,考虑“模特”函数为指 数函数,结合指数函数的图像与性质进行分 析与判断。 解:由f(x+y)=f(x)f(y),构建特殊 函数模型f(x)=ax,a>0且a≠1。 当0<a<1时,函数f(x)在 R上是严 格减函数,A错误。由f(3)=a3=10,可得 f(6)=a6=(a3)2=102=100,B正确。由 f(6)=a6=100,可得a3=10,所以f(-3) =a-3= 1 10 ,C正确。因为F(x)=f(x)+ f(-x)=ax+a-x≥2 ax·a-x=2,当且仅 当ax=a-x,即x=0时等号成立,所以F(x) =f(x)+f(-x)的最小值为2,D正确。应 选A。 指数函数模型 f(x)= ax,a >0 且 a ≠1,满 足 f(x+y)=f(x)f(y)。解题时,先利用函数 的单调性、模型函数的取值,确定函数的值, 再结合基本不等式进行分析与处理。 91 知识结构与拓展 高一数学 2024年1月 三、对数函数模型 例3 (多选题)定义在(0,+∞)上的函 数f(x)满足如下条件:①f(xy)=xf(y)+ yf(x);②当x>1时,f(x)>0。下列结论 中正确的是( )。 A.f(1)=0 B.f(xy)=f(x)f(y) C.f(x)在(1,+∞)上单调递增 D.不等式xf x- 3 2 ≥ 32-x f(x) 的解集为[2,+∞) 分析:由f(xy)=f(x)+f(y),类比并 联想到对数函数模型,考虑“模特”函数为对 数函数,再结合题意进行分析与处理。 解:由f(xy)=xf(y)+yf(x),恒等变 形得f (xy) xy =f (x) x + f(y) y ,结合对数的运 算性 质 与 对 数 函 数 模 型,选 取 特 殊 函 数 f(x) x =lnx ,可知满足题设的两个条件。由 f(x)=xlnx,可得f(1)=0,A正确。令x =y=e,可得f(e2)=2e2,f(e)f(e)=e2,B 不正确。当x>1时,函数y=x 与y=lnx 在(1,+∞)上都是单调递增的,则函数f(x) =xlnx 在(1,+∞)上单调递增,C正确。当 x> 3 2 时,不等式xf x- 3 2 ≥ 32-x · f(x)可 化 为 f x- 3 2 x- 3 2 ≥ -f (x) x ,所 以 lnx- 3 2 ≥-lnx=ln1x,所以x-32≥ 1 x>0 ,即2x2-3x-2≥0,解得x≥2,D正 确。应选ACD。 对数函数模型 f(x)= logax,a>0且 a≠1,满 足 f(xy)=