专题12 数列与函数、不等式的综合问题（解密讲义）【高频考点解密】2024年高考数学二轮复习高频考点追踪与预测（安徽专用）

专题12 数列与函数、不等式的综合问题（解密讲义） 【知识梳理】 1.数列的应用，解题的关键是通过找到图形之间的关系，得到数列。 求数列通项公式常用的方法： (1)由与的关系求通项公式 (2)公式法：利用等差(比)数列求通项公式． (3)在已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an. (4)在已知数列{an}中，满足＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累积法求数列的通项an. (5)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)． 2. 用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型——数列模型，弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型，它的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题．求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果． 常见数列应用题模型的求解方法 (1)产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间n的总产值y＝N(1＋p)n. (2)银行储蓄复利公式：按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，存期为n，则本利和y＝a(1＋r)n. (3)银行储蓄单利公式：利息按单利计算，本金为a元，每期的利率为r，存期为n，则本利和y＝a(1＋nr)． (4)分期付款模型：a为贷款总额，r为年利率，b为等额还款数，则b＝. 3.数列与函数常常以函数的解析式为载体，转化为数列问题，常用的数学思想方法有“函数与方程”“等价转化”等． 4.数列与不等式问题要抓住一个中心——函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理． 数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化．数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题． 解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点：(1)数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视；(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件；(3)不等关系证明中进行适当的放缩． 5.＂新定义＂型问题是指在问题中定义了高中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接＂新知识＂;（3）定义新概念.这类试题考查考生对＂新定义＂的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将＂新定义＂的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题. 方法技巧： 数列与函数、不等式综合问题的求解策略： 1、已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前项和公式，求和方法等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性； 2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决. 1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式. 2.以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围. 3.将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用. 考点 命题点 考题 数列与函数、不等式的综合问题 ①数列中函数模型的应用 ②数列不等式的恒成立问题 ③数列新定义 2023北京卷T21，2023天津卷T19， 2022北京卷T21，2022浙江卷T10， 2022浙江卷T20，2022新高考II卷T17 考点一 数列与函数、不等式的综合问题 · 命题点1 数列中函数模型的应用 典例01（2018·北京·高考真题）“十二平均律”  是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为 A． B． C． D． 典例02（2017·上海·统考高考真题）根据预测，某地第 个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆）， 其中，，第个月底的