精品解析：天津市八校联考2023-2024学年高三上学期期末质量调查数学试卷

2024年天津市八所重点学校高三毕业班联考 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．考试结束后，上交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题，共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为，货车和客车中途停车修理的概率分别为和，则一辆汽车中途停车修理的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，m为实数，若，则向量在上的投影向量为（ ） A B. C. D. 7. 清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由相同的两个正交的正四面体组合而成（如图1），也可由正方体切割而成（如图2）．在“蒺藜形多面体”中，若正四面体的棱长为2，则该几何体的体积为（ ） A. B. 2 C. D. 4 8. 已知过原点O的直线与双曲线交于A，B两点（点A在第一象限），，分别为双曲线E的左．右焦点，延长交E于点C，若，，则双曲线E的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数对称中心到对称轴的最小距离为，将的图象向右平移个单位长度后所得图象关于y轴对称，且关于函数有下列四种说法： ①是的一个对称轴；②是的一个对称中心； ③在上单调递增；④若，则，． 以上四个说法中，正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题，共105分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将正确的答案填写到答题纸上． 10. 若复数z满足（其中是虚数单位），则z的虚部为______． 11. 的展开式中，项的系数为______.（用数字作答） 12. 已知直线与⊙：交于A，B两点，写出满足“面积为”的实数的一个值______（写出其中一个即可） 13. 学习于才干信仰，犹如运动于健康体魄，持之已久、行之愈远愈受益．为实现中华民族伟大复兴，全国各行各业掀起了“学习强国”的高潮．某老师很喜欢“学习强国”中“挑战答题”模块，他记录了自己连续七天每天一次最多答对的题数如下表： 天数x 1 2 3 4 5 6 7 一次最多答对题数y 12 15 16 18 21 24 27 参考数据：，，，，， 相关系数 由表中数据可知该老师每天一次最多答对题数y与天数x之间是______相关（填“正”或“负”），其相关系数______（结果保留两位小数） 14. 已知点A为抛物线上一点（点A在第一象限），点F为抛物线的焦点，准线为l，线段AF的中垂线交准线l于点D，交x轴于点E（D、E在AF的两侧），四边形为菱形，若点P、Q分别在边DA、EA上，，，若则的最小值为______，的最小值为______． 15. 函数，函数若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围是______． 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若，， ①求的值； ②求的面积． 17. 如图，正方形与梯形所在平面互相垂直，已知．//，，点P为线段EC的中点． （1）求证：∥平面CDE； （2）求直线DP与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知椭圆，，分别是椭圆C左、右焦点，点为左顶点，椭圆上的点到左焦点距离的最小值是焦距的． （1）求椭圆的离心率； （2）直线过椭圆C的右焦点，与椭圆C交于P，O两点（点P在第一象限）．且面积的最大值为， ①求椭圆C的方程； ②若直线，分别与直线交于，两点，求证：以为直径的圆恒过右焦点． 19. 已知数列是正项等比数列，是等差数列，且，，， （1）求数列和的通项公式； （2）表示不超过x最大整数，表示数列的前项和，集合共有4个元素，求范围； （3），数列的前项和为，求证：． 20. 已知函数（e是自然对数的底数）． （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）当时， ①求证：函数存在唯一的极值点； ②在①的条件下，若且，求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年天津市八所重点学校高三毕业班联考 数学试卷 本试