专题11 二次函数（讲义）-备战2024年中考数学一轮复习考点帮（广东专用）

专题11 二次函数核心知识点精讲 1.理解二次函数的概念，应理解二次函数的基本形式和定义，知道什么样的函数是二次函数。 2.掌握二次函数的性质，能掌握二次函数的开口方向、对称轴、顶点等基本性质，以及这些性质对函数值的影响。 3.掌握二次函数的图象，能通过描点法或其他方法画出二次函数的图象，并能够根据图象研究函数的性质。 4.理解二次函数与一元二次方程的关系，学生应能理解二次函数与一元二次方程之间的关系，知道一元二次方程的根就是二次函数与y=h（h是实数）交点的横坐标。 5.掌握二次函数的解析式，能根据实际问题列出二次函数的解析式，并确定自变量的取值范围。 6.掌握二次函数的简单应用，能利用二次函数解决一些简单的实际问题，例如计算最值、解决与几何、物理相关的问题等。 7.培养数学思维和解决问题的能力，通过学习和应用二次函数，培养数学思维和解决问题的能力，提高对数学的兴趣和信心。 考点1 二次函数的定义和图象 1.二次函数的概念：一般地，如果，那么y叫做x 的二次函数。 叫做二次函数的一般式。 2.二次函数的图象：二次函数的图象是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 二次函数图象的画法（五点作图法）列表，描点，连线； 考点2 二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式： （2）顶点式： （3）交点式：当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。 考点3 二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。 如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，。 考点4二次函数的性质 1.二次函数的性质 函数 二次函数 图象 a>0 a<0 性质 （1）抛物线开口向上，并向上无限延伸； （2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）； （3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而增大，简记左减右增； （4）抛物线有最低点，当x=时，y有最小值， （1）抛物线开口向下，并向下无限延伸； （2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）； （3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而减小，简记左增右减； （4）抛物线有最高点，当x=时，y有最大值， 2.二次函数中，的含义： 表示开口方向：>0时，抛物线开口向上 <0时，抛物线开口向下 与对称轴有关：对称轴为x= 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，） 3.二次函数与一元二次方程的关系：一元二次方程的解是其对应的二次函数的图象与x轴的交点坐标。 因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图象与x轴是否有交点。 当>0时，图象与x轴有两个交点； 当=0时，图象与x轴有一个交点； 当<0时，图象与x轴没有交点。 4.函数平移规律 若平移前的解析式为y=a(x-h)+k，则 向左平移m个单位后解析式为y=a(x-h+m)+k，规律为“左加”； 向右平移m个单位后解析式为y=a(x-h-m)+k，规律为“右减”； 向上平移m个单位后解析式为y=a(x-h)+k+m，规律为“上加”； 向下平移m个单位后解析式为y=a(x-h)+k-m，规律为“下减”； 考点5 二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 考点6 二次函数的实际应用 1.利润问题常用的等量关系：（1）总利润=单个利润X销售量 （2）单个利润=售价-进价。 2.销售量与进价之间的关系有三种表现形式：（1）文字叙述；（2）表格形式；（3）函数图象（常为一次函数关系） 3.运用二次函数的性质