专题10 反比例函数（讲义）-备战2024年中考数学一轮复习考点帮（广东专用）

专题10 反比例函数核心知识点精讲 1.了解反比例函数的概念，能够根据问题中的条件确定反比例函数的解析式。 2.理解反比例函数的性质，会画出它们的图象，以及根据图象指出函数值随自变量的增加或减少而变化的情况。 3.会用待定系数法确定反比例函数的解析式。 4.经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题的过程。 5.体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力。 6.经历将一些实际问题抽象为数学问题的过程，初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题。 7.发展应用意识，初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用。 考点1 反比例函数概念及其解析式 1.反比例函数的概念：一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。 2.反比例函数解析式的三种形式（k为常数，k≠0）；；xy=k；。 考点2 反比例函数的图象与性质 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 反比例函数的性质： 反比例函数 k的符号 k>0 k<0 图象 性质 ①x的取值范围是x0， y的取值范围是y0； ②当k>0时，函数图象的两个分支分别 在第一、三象限。在每个象限内，y 随x 的增大而减小。 ①x的取值范围是x0， y的取值范围是y0； ②当k<0时，函数图象的两个分支分别 在第二、四象限。在每个象限内，y 随x 的增大而增大。 对称 即使轴对称图形，又是中心对称图形，两条对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心是原点 考点3 反比例函数解析式的确定与k的几何意义 1.反比例函数的解析式 （1）待定系数法。由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。 步骤为:①设反比例函数的解析式为； ②找出满足反比例函数图象的已知点P（a，b）； ③将P（a，b）代入解析式解得k=ab ④确定反比例函数解析式。 （2）利用反比例函数中反比例系数的几何意义 若已知某点到坐标轴的垂线与坐标轴所围成的面积，根据函数图象所在象限判断k的正负，从而确定k值，再将k值代入反比例函数解析式即可。 2. 反比例函数k的几何意义： 反比例函数的几何意义为∶过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数，从而有k的绝对值。 3. 与反比例函数k的几何意义有关的面积计算： 考点4 反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 考点5 反比例函数与一次函数的综合运用 1.根据点的坐标确定函数的解析式； 2.根据函数图像比较两函数值的大小； 3.求三角形或四边形的面积； 4.由几何图形面积确定点的坐标或求函数解析式。 考点5 反比例函数的实际应用 1.实际问题中常见的反比例函数关系 （1）行程问题： （2）工程问题： （3）压强问题： （4）电学问题： 2.解反比例函数的实际应用题的一般步骤： （1）审清提议，找出题目中的常量、变量，并确定常量与变量之间的关系； （2）根据常量与变量之间的关系，设书函数解析式，待定的系数用字母表示； （3）由题目中的一直条件列出方程，求出待定系数； （4）写出函数解析式，并注意解析式中自变量的取值范围； （5）用函数的图像与性质解决实际问题。 【题型1：反比例函数概念及其解析式】 【典例1】若函数y是反比例函数，则k＝　 　． 1．（2021•饶平县校级模拟）已知反比例函数y＝（3m﹣1）的图象在第二、四象限，求m的值． 2．（2023•海珠区校级二模）已知：P（m）． （1）化简P； （2）若函数y＝3xm+n为反比例函数，求P的值． 【题型2：反比例函数的图象与性质】 【典例2】（2023•深圳模拟）反比例函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【典例3】（2023•东莞市校级一模）已知反比