题型19 10类球体的外接及内切解题技巧（特殊几何体、墙角、对棱相等、侧棱垂直底面、侧面垂直底面、二面角综合、最值、球心不确定等）-备战2024年高考数学答题技巧与模板构建（新高考通用）

题型19 10类球体的外接及内切解题技巧 （特殊几何体、墙角、对棱相等、侧棱垂直底面、侧面垂直底面、 二面角综合、数学文化、最值、内切、球心不确定） 技法01 特殊几何体外接球的应用及解题技巧 技法02 墙角问题的应用及解题技巧 技法03 对棱相等问题的应用及解题技巧 技法04 侧棱垂直底面问题的应用及解题技巧 技法05 侧面垂直于底面问题的应用及解题技巧 技法06 二面角与球体综合的应用及解题技巧 技法07 数学文化与球体综合的应用及解题技巧 技法08 最值与球体综合的应用及解题技巧 技法09 内切球综合的应用及解题技巧 技法10 球心不确定类型的应用及解题技巧 技法01 特殊几何体外接球的应用及解题技巧 对于长方体、正方体、正棱柱、圆柱、正三棱锥、正四棱锥、圆锥、正四面体等特殊几何体，其外接球通常可以直接求解，是高考的高频考点，常以小题形式考查，需强化训练. 知识迁移 球的表面积：S＝4πR2 球的体积：V＝πR3 底面外接圆的半径r的求法 （1）正弦定理 （2）直角三角形：半径等于斜边的一半 （3）等边三角形：半径等于三分之二高 （4）长（正）方形：半径等于对角线的一半 几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.　 正棱锥类型 , 解出 例1-1．（2020·天津·统考高考真题）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即， 所以，这个球的表面积为. 例1-2．（全国·高考真题）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（    ） A． B． C． D． 球的直径是长方体的体对角线，所以， 解得，所以球的表面积为： 例1-3．（全国·高考真题）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A． B． C． D． 正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高上，记为O，PO=AO=R，，=4-R， 在Rt△中，，由勾股定理得，∴球的表面积 1．（陕西·高考真题）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A． B． C． D． 2．（全国·高考真题）设长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 A．3a2 B．6a2 C．12a2 D．24a2 3．（全国·高考真题）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A． B． C． D． 4．（四川·高考真题）如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果 ，则求的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．（全国·高考真题）已知正四棱锥O-ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为 . 6．（广东·高考真题）棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ． 7．（辽宁·高考真题）若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为 ． 8．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）已知正四棱台的高为，下底面边长为，侧棱与底面所成的角为，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为（   ） A． B． C． D． 技法02 墙角问题的应用及解题技巧 墙角模型（三条直线两两垂直）可直接补形为长方体，进而转化为长方体的外接球，可用公式快速求解. 知识迁移 墙角模型（三条直线两两垂直） 补形为长方体，长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. 例2．（2023·广西模拟）已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上， 平面，且，则球的表面积为 A． B． C． D． 由题意可知CA,CB,CD两两垂直，所以补形为长方形，三棱锥与长方体共球，，求的外接球的表面积 1．（2023·天津河西·统考二模）在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2023上·浙江·高二校联考期中）在三棱锥中，PA、AB、AC两两垂直