精品解析：北京市丰台区2023-2024学年高三上学期期末练习数学试卷

丰台区2023～2024学年度第一学期期末练习 高三数学 2024.01 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题（共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，，则（ ） A B. C D. 2. 若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. 120 C. D. 60 4. 在中国文化中，竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈品质．竹子在中国的历史可以追溯到远古时代，早在新石器时代晚期，人类就已经开始使用竹子了．竹子可以用来加工成日用品，比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹筒等．现有某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料，这九种竹筒的容积（单位：L）依次成等差数列，若，，则（ ） A. 5.4 B. 6.3 C. 7.2 D. 13.5 5. 已知直线与圆相切，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板折起，使得二面角为直二面角，得图2所示四面体．小明对四面体中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①平面；②平面；③平面平面；④平面平面．其中判断正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知是两个不共线的单位向量，向量（）．“，且”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 在八张亚运会纪念卡中，四张印有吉祥物宸宸，另外四张印有莲莲．现将这八张纪念卡平均分配给4个人，则不同的分配方案种数为（ ） A. 18 B. 19 C. 31 D. 37 10. 已知函数，当时，记函数的最大值为，则的最小值为（ ） A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 5 第二部分 非选择题（共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 双曲线的渐近线方程________． 12 已知，则___． 13. 矩形中，，，且分为的中点，则___． 14. 如图，在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，过点作轴的垂线，垂足为．若记点到直线的距离为，则的极大值点为___，最大值为___． 15. 在平面直角坐标系内，动点与定点的距离和到定直线的距离的和为4．记动点的轨迹为曲线，给出下列四个结论： ①曲线过原点； ②曲线是轴对称图形，也是中心对称图形； ③曲线恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）； ④曲线围成区域的面积大于． 则所有正确结论的序号是___． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. △中，，． （1）求的大小； （2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度． 条件①：；条件②：△的周长为；条件③：△的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17. 如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，点为中点． （1）求证：// 平面； （2）点为棱上一点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 18. 2023年冬，甲型流感病毒来势汹汹．某科研小组经过研究发现，患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异．在某地的两类人群中各随机抽取20人的该项医学指标作为样本，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标小于的人判定为阳性，大于或等于的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，用频率估计概率． （1）当临界值时，求漏诊率和误诊率； （2）从指标在区间样本中随机抽取2人，记随机变量为未患病者的人数，求的分布列和数学期望； （3）在该地患病者占全部人口的5%的情况下，记为该地诊断结果不符合真实情况的概率．当时，直接写出使得取最小值时的的值． 19. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值； （2）求函数的单调区间． 20. 已知椭圆． （1）求椭圆的离心率和焦点坐标； （2）设直线与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点且平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，点关于原点的对称点为．记直线的斜率为，直线的斜率为，求的值． 21