北京通州区2025-2026学年高三上学期期末摸底考试数学试卷

通州区2025一2026学年高三年级摸底考试 数学试卷 2026年1月 本试卷共4页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作 无效。考试结束后，请将答题卡交回。 第一部分（选择题共40分） 、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的 项。 L)已知金集为R,集合A=(x∈Z|-2≤c≤4)，B={xl一1≤x≤3)，则A∩CRB= (A){-2,4)》 (B){-2,-1,3,4)(C)(-1,0,1,2,3) (D)(x|-1≤x≤3) 2)已知复数之满足(1一)之=1十，则|之一21= (A)1 (B)W2 (C)5 (D)5 3)设S,为等差数列(a)的前n项和.若a=14,S6=S10,则a10= (A)-4 (B)-2 (C)32 (D)50 (4)已知半径为1的圆经过(2,1)，则其圆心到直线3x十4y+10=0的距离的最小值为 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 (5)“a∈(1,3)”是“函数f(x)=log2x一x+a在(2,8)上存在零点”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (6)若(2x-3)=a4x4十ax3十a22十a1x十a,则a十a2十a= (A)-313 (B)一312 (C)312 (D313 (7)已知a,B是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线.下列四个命题： ①若&⊥B,m⊥a,n⊥B,则m⊥n ②若aLB,mLa,mLn,则nLB ®若a∥B,m∥a,m,∥n,则n∥B ④若a∩B=m,n∥n,则n∥&或n∥g 其中所有真命题的序号是 (A)①② (B)③④ (C)①③ (D①④ (8)已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,准线1与x轴交于点D,点A是抛物线C上一点， AMLL于M,若AD为线段MF的垂直平分线，IAD|=√2，则抛物线方程为 (A)y2=8x (B)y2=4x ()9=2x (D)y=x (9)已知数列A:a1,a2,…,a8,a1=1,ag=13,设m=a+1-a(1≤≤7，k∈N‘),若m=1或2， 满足条件的不同数列的个数为 (A)7 (B)21. (C)35 (D)70 高三数学试卷第1页（共4页） 10)已知点P为△ABC所在平面内一点，∠A=至，PA=|Pl=|PC,若Pi=xP+μP心， 则入十μ的取值范围是 (A[-√2，W2] (B)[-√2,1] (C)E一√2,1) (D,(-1,W2] 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 (11已知双曲线C:。-芳-1(。>0,6>0)的离心率为2，则该双曲线的新近线方翟为 (12)已知角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别交单位圆《圆心 在原点)于A,B两点，点A坐标为（号，一是》，则ana= ;若点B在第一象限，且 |AB引=√2，则cosB= (13)有两台光刻机生产同一型号芯片，假设第1台生产的次品率为5%，第2台生产的次品率为 4%.现将两台光刻机生产出来的芯片混放在一起，已知第1、2台光刻机生产的芯片占比分 别为40%、60%.现任取一枚芯片，则它是次品的概率为 ;如果取到的芯片为合格 品，则该合格品是第一台光刻机生产的概率为 （10已知函数=t+si血，若b>0,且f2a-1D十f0)=f0,则子+若的最小值为 (15)已知曲线C:x2十y2一xy=m(m>0),直线l:y=x与曲线C交于.A(x1:y),B(x2y2)两 点.给出下列四个结论： ①Vm>0,k∈R,总有.1十x2+十y2=0; ②当m=2时，|AB|≤2√2； ③曲线C所围成区域的面积为43m, 3 ④当m=2时，VkcR,ě有-2g≤<2g5 3 其中正确结论的序号是 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 (16)(本小题13分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=bcosC=-Y3 bsin C. (I)求角B; (Ⅱ)若b=√13，c=3,求△ABC的面积. 高三数学试卷第2页（共4页） (17)(本小题14分) 如图，在三棱柱ABC-A,B,C:中，侧面BCC,B,为矩形，AC=CB=2,AB=AA,=2V2, E为AB的中点、 (I)求证：BC,∥平面A,CE; (Ⅱ)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AA,与 平面A,CE所成角的正弦值. 条件①：侧面ACCA1为矩形； 条件②：AC⊥BC. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. (18)(本小题13分) 开封古称汴梁、汴京，作为北宋都城长达168年，是当时世界上最大的都市，《清明上河图》描 绘的正是当年汴河两岸的繁华盛景.如今的开封，依托深厚的历史文化底蕴，打造了以清明上河 园、开封府、大相国寺、龙亭公园为代表的宋文化景区群，让游客穿越千年，感受“东京梦华”的独 特魅力.为深化游客对宋代文化的体验，开封旅游局推出了“宋文化深度游”项目.某旅行社组织 了一个20人的“宋文化研学团”，其中12人购买了景点联票（深度体验游客），8人只购买了部分 景点门票（精选游览游客）.为增强文化体验，旅行社准备从20人中随机抽取3人，赠送珍贵的 《大宋御河夜游》船票，并可在船上自愿参与北宋蹴鞠体验活动， (I)求抽到的3人中恰有1人为“深度体验游客”的概率； (Ⅱ)如果游客参加“噬鞠体验”活动的概率为0.6，且是否参与相互独立.设X=“抽到的3人中实 际参加跋鞠体验的游客人数”，求X的分布列及数学期望E(X). (Ⅲ)该旅行社对某天1000位精选游览游客的游览情况进行统计，得到如下数据： 景点编号 二 三 四 景点名称 清明上河园 开封府 大相国寺 龙亭公园 游览人数（人） 829 653 499 347 假设每个景点得到人们喜欢的概率与该景点的参观率相等，用=1表示第个景点得到游 客喜欢，用=0表示第个景点没有得到游客喜欢(k=1,2,3,4).结合上表数据，写出方差 D,D2,D,DE。的大小关系.（结论不要求证明） 高三数学试卷第3页（共4页） (19)(本小题15分) 已知椭圆E:号十子=1a>6>0)的离心率为分，A,B分别是E的左，右顶点，AB1=4 (I)求椭圆E的方程； (I)若O为坐标原点，过点P(一2,2)且斜率为的直线L交椭圆E于不同的两点M,N(M,N 异于点B),直线BM,BN分别与直线OP交于点C,D.试判断四边形ACBD是否为平行四 边形，并说明理由. (20)(本小题满分15分) 已知函数f(x)=x3-3alnx,a>0. (I)若a=2,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1)处的切线方程； (Ⅱ)求证：若存在c∈(0，十o∞)，使f(x)<1,求a的取值范围； ()若a（1,2》,求证：对任意，∈[号，十o0),当>时，不等式1二>号恒 x-2 成立. (21)(本小题15分) 已知S是由x1,x,·,x(n∈N”,n≥2)这n个数构成的所有排列组成的集合，例如，若 x1=5,x2=7,则S=(5,7),(7,5). 定义：①A与B的差A-B=(la1-bl,|a2-b2,…,an-bnI), ②A与B的距离d(A,B)=|a-b|+|a2-bz.+…+|a,-bnI, 其中A=(a1,a2,,ar)∈S,B=(b,b2,…,bn)∈S. （I)若x=i(i=1,2,3),写出集合S; (Ⅱ)若x,=i(i=1,2,3,,n),且a≠b,(i=1,2,3,…,n,求d(A,B)的最小值。 (Ⅲ)若x∈{m,m+1),m∈N,A,B,C∈S,求证：d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个 偶数. 高三数学试卷第4页（共4页） 通州区2025一2026学年高三年级摸底考试 数学参考答案及评分标准 2026年1月 第一部分 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。 题号 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 答案 冈 C A B A D D C B C 第二部分 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分 1y=士5x12)-号130.04,20 (14)9(15)①，④ 注：第(12)，(13)题第一空3分，第二空2分；第(15)题全部选对得5分，不选或有错选得 0分，其他得3分。 三、解答题共6小题，共85分 (16)(本小题满分13分) 解：(I)因为a-bcos C=-56 3bsin C, 由正弦定理品A品B品C2R, 得sinA=sin Bcos C三3 sin Bsin C 因为A+B+C=π，所以sinA=sin(B+C)=sin Bcos C+sin Ccos B. 所以sin Co-号in Bin C 因为B,C为△ABC的内角，所以sinC≠0，tanB=√3. 所以B=子 8分 (Ⅱ)因为b=√13，c=3, 由余弦定理b2=a2+c2-2 accos B得，a2-3a-4=0. 解得a=4,a=一1（舍去）. 所以5m=2 ucsinB=3Vg. ………13分 (17)(本小题满分14分) (I)证明：连接AC,,交A,C于O,连接EO, 由三棱柱的定义可知ACC,A,为平行四边形， 所以有O为AC,的中点， 又因为E为AB的中点， 高三数学参考答案及评分标准第1页（共5页） 所以EO∥BC· 因为BC,中平面A,CE,EOC平面A,CE, 所以BC1∥平面ACE.…5分 (Ⅱ)解：选择条件① 因为ACC,A1为矩形，BCC1B1为矩形， 所以CC,⊥AC,CC,⊥BC. 又因为AC=CB=2,AB=2√2， 所以AC⊥BC 如图建立空间直角坐标系C一xyz, E 则C(0,0,0),A(2,0,0),A1(2,0,2√2)，E(1,1,0) 所以CE=(1,1,0),CA1=(2,0,2√2)，AA1=(0,0,2√2) m·C2=0,x十y=0, 设平面A1CE的法向量为m=(x,y,z),则 即 m.CA,=0,2x+2√2z=0. 令y=1,则x=-1-竖于是m=(-11,号. 设直线AA1与平面A1CE所成角为a,则 sin a=cos(m,AA,>= |m·AAl=5 14分 mAA 选择条件② 因为AC=CB=2,AB=2√2， 所以AC⊥BC. 因为AC⊥BC1, 所以AC⊥平面BB1C,C. 所以AC⊥CC,. 以下同条件①. (18)(本小题满分13分) 解：(I)设A=“抽到的3人中恰有1人为‘深度体验游客’”. 从20人中抽取3人的方法种数共有C2。, 抽到的3人中恰有1人为“深度体验游客”的种数共有CC, 所以抽到的3人中恰有1人为“深度体验游客"的概率P(A)-CC 28 C20 95 …4分 (Ⅱ)X的所有可能取值分别为0,1,2,3. 由题意X一B(3,子). 所以PX=0)=C(号P(号”= 8 25' 36 125 高三数学参考答案及评分标准第？页（共5页） PX=2)=c号'gP=器， P(X=3)=C号(P= 7 125 所以X的分布列为 X 0 1 2 % ◇ 8 36 54 27 125 125 125 125 …9分 E(x0-0×盘+1X器+2×赞+3×器 8 36 9 10分 (Ⅲ)D6<DE2=D54<Dga.… 13分 (19)(本小题满分15分) 2a=4, 1 解：(I)由题设， a2=b2+c2 解得a=2,b=√3. 椭圆E的标准方程为号+芳=1. …5分 (Ⅱ)由题意，直线1的方程为y一2=(x十2) 4 '得(3+4k2)x2+16k(k十1)x+16(k+1)2-12=0. 由4>0，得K-日 设Ma),N2),则+4=-6，西=16+1-12 3+4k2 3十4k2 直线BM的方程为)=产2红一2》， 直线BN的方程为y”2-2, 直线OP的方程为y=一x. 则C(2y1 22Cx,+y-2,D(丝 +y2-2',十%2) 2y1 22产二4y十+2+2码 （x1+y1-2)(x2+y2-2) 因为43-40，十3g)+24十21=966+4-48+48+486=0， 3+4k23+4k2T3+4k2 所以IOC=OD1. 因为OA|=|OB1, 所以四边形ACBD为平行四边形. 15分 高三数学参考答案及评分标准第3页（共5页） (20)(本小题满分15分) 解：(I)当a=2时，f(x)=x3-6lnx, 所双r=生子 所以f(1)=1,f(1)=-3. 所以切线方程为y=一3x十4.… …4分 (Ⅱ)因为f(x)=x3-3alnx, 所以f(x)=3x2-30=3t-a x 令f(x)=0,则x=a, 当0<x<a时，f(x)<0,f(x)单调递减； 当x>a时，f(x)>0,f(x)单调递增； 则f(x)取得最小值f(a)=a-alna; 令g(a)=a-alna,a>0,则g'(a)=-lna,令g'(a)=0得a=l. 当0<a<1时，g'(a)>0,g(a)单调递增， 当a>1时，g'(a)<0,g(a)单调递减， 所以g(a)mm*=g(1)=1. 所以a∈(0,1)U(1,+∞). …9分 (Ⅲ)当x>x2时，x>x,由第(2)问，f(x)在(a,十∞)单调递增. 因为a∈1,2)，则a<拒<号，则f(x)在[号，+∞)单调递增， 则/a)-f=z)-fx) I-z x-z 即证红)-f)>号G-安. 即证红)-号>x)-名 即证h()=)-号t=号r-3alnr在[号，+o)单调递增。 因为ae1,2xE[受，+o), 、2(27 则0=22-3u>2x-6=2r-323≥2 8 3) ->0, 所以6()在受，十四)上单调递增。 所以不等式人二八之发但成立.……5分 高三敷学参考答象及评分标准第4页（共5页） (21)(本小题满分15分) 解：(I)S={(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,2,1),(3,1,2)}.…3分 （Ⅱ)(1)当n为偶数时：d(A,B)=la,-b,1+la2-b2|+…+|an-b,|≥n. A=(a1a…a,)中含有号个整数对(m,m+1),其中m=2-1,1≤k≤受k∈Z, 将所有这样的整数对交换位置变为(m十1，m)组成B=(b,b2,…,b,),此时每一个整数对 中对应数字之差均为1，那么d(A,B)=号×2=，则d(A,B)的最小值为n; (2)当n为奇数时： 假设d(A,B)=|a1-bl+|a2-b2|+…+|am-bn|=n, Vi∈Z,la,-b:|=1,不妨设a:=i,l≤i≤n, 则b,=2,b2=1或3，若b2=3则1b-1≥2，矛盾，以此类推，b=an值，矛盾。 所以d(A,B)=|a1-b1|+|a2-b2|+…+|an-bn|≥n+1. 将A=(a4a,)中所有数字分成”个整数组，其中含有"”2-1个整数对(m,m十1)， m=2,2≤≤”2，b∈Z,1个整数组(12,3).将所有这样的整数对交换位置变为(3,1,2. 此时每一个整数对(m,m十1)中对应数字之差均为1，整数组中对应数字之差为1,1,2， 因此dA,B)=(”2-1)×2+1+1+2=n+1,则aA,B)的最小值为n+1.…9分 (Ⅲ)设d(A,B)=k,d(A,C)=l,d(B,C)-t, 依题意可知，A和B中有满足a;≠b:的个数有k个， A和C中有满足a:≠c;的个数有L个， B和C中有满足b,≠c:的个数有t个. 因为x,∈{m,m+1},所以不可能存在a:,b:,c:互不相等的情况 设x1为a,=b,a;≠c,b,≠c:的个数，x为a,=c,a≠b,b,≠c:的个数， x3为b,=c,a:≠b,a:≠c:的个数，x4为a:=b=c:的个数. 则k=工2十x,l=x1十x3,l=x十2，三式相加k十什t=2(x1十x2十x). 因此k+l什1为偶数，则k,l,t中含有一个或者三个偶数，即d(A,B),d(A,C),d(B,C)三 个数中至少有一个偶数。…15分 注：解答题学生若有其它解法，请酌情给分、 高三数学参考答案及评分标准第5页（共5页）