2024年中考数学第一轮复习培优（山西专用）专题十一次函数

2024年中考数学第一轮复习培优讲义（山西卷） 第三章 函数（解析版） 专题十 一次函数 1、 考点精讲 （一）一次函数的概念： 1.一次函数的概念： （1）定义：一般地，如果y=kx+b(k，b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数； （2）结构特征： ①k≠0； ②x的次数是1； ③常数项b可以是任意实数。 2.正比例函数的概念： （1）定义：当一次函数y=kx+b中的b为0； 即：y=kx(k为常数，k≠0)；这时，y叫做x的正比例函数； （2）结构特征： ①k≠0； ②x的次数是1； ③常数项为0； （3）图像：是经过原点的一条直线。 3.一次函数与正比例函数的联系：正比例函数是一次函数的特殊形式。 （二）一次函数的图像及平移： 1.正比例函数的图象： 正比例函数y=kx(常数k≠0)的图象是一条经过原点(0，0)与点(1，k)的直线。 2.一次函数的图象：y=kx+b(k，b是常数，k≠0) （1）所有一次函数的图象都是一条直线； （2）与y轴交于点(0，b)；与x轴交于点(，0)的直线。 （3）作图： ①画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可； 一般取(0，b)，(，0)两点； ②当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例，过原点； 3.一次函数图象的平移： （1）上下平移：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b） ①将直线y=kx+b向上平移n个单位长度：得到直线y=kx+b+n； ②将直线y=kx+b向下平移n个单位长度：得到直线y=kx+b-n； （2）左右平移：右减左加（对于y=kx+b来说，只改变b） ①将直线y=kx+b向右平移n个单位长度：得到直线y=k(x-n)+b； ②将直线y=kx+b向左平移n个单位长度：得到直线y=k(x+n)+b； （三）一次函数图象的性质： 1.正比例函数的性质：一般地，正比例函数y=kx(k≠0)有下列性质： （1）当k>0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大； （2）当k<0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小。 2.一次函数的性质：一般地，一次函数y=kx+b(k≠0，b≠0)有下列性质： （1）k>0，b>0时，图象经过一、二、三象限，y随x的增大而增大； （2）k>0，b<0时，图象经过一、三、四象限，y随x的增大而增大； （3）k<0，b>0时，图象经过一、二、四象限，y随x的增大而减小； （4）k<0，b<0时，图象经过二、三、四象限，y随x的增大而减小。 k值 k＞0 k＜0 b值 b=0 b＞0 b＜0 b=0 b＞0 b＜0 图象 象限 一、三 一、二、三 一、三、四 二、四 一、二、四 二、三、四 性质 k＞0，y随x的增大而增大 k＜0，y随x的增大而减小 （四）一次函数的解析式的确定： 1.确定一次函数解析式的方法： （1）依据题意中等量关系直接列出解析式； （2）待定系数法。 2.用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： （1）确定一个正比例函数，需要确定正比例函数解析式y=kx(k≠0)中的常数k； （2）确定一个一次函数，需要确定一次函数解析式y=kx+b(k≠0)中的常数k和b； （3）解这类问题的一般方法：待定系数法 ①设出函数的一般形式； ②根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组； ③解方程或方程组求出待定系数的值； ④将所求得的系数的值代入到一般形式中。 3.确定正比例函数表达式： 只需一对x与y的对应值(即已知正比例函数图象上的一个点即可)； 4.确定一次函数的表达式： 只需要两对x与y的对应值(即已知一次函数图象上的两个点即可)。 （五）一次函数与方程（组）、一元一次不等式： 1.一元一次方程： 关于x的一元一次方程kx+b=0(k≠0)的解是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标。 2.二元一次方程组： 关于x，y的二元一次方程组的解是直线y=k1x+b1和y=k2x+b2的交点坐标。 3.一元一次不等式： 关于x的一元一次不等式kx+b＞0(＜0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图象所对应的x的取值范围。 （六）一次函数的实际应用： 1.一次函数应用问题的求解思路： （1）建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答； （2）利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 2.建立函数模型解决实际问题的一般步骤： （1）审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y； （2）根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数