专题4.3 正弦定理和余弦定理【八大题型】-2024年高考数学二轮复习【举一反三】系列（新高考专用）

专题4.3 正弦定理和余弦定理【八大题型】 【新高考专用】 【题型1 正、余弦定理求三角形的边与角】 3 【题型2 正、余弦定理判定三角形形状】 4 【题型3 正弦定理判定三角形解的个数】 4 【题型4 证明三角形中的恒等式或不等式】 5 【题型5 求三角形（四边形）的面积】 6 【题型6 求三角形中的边长或周长的最值或范围】 8 【题型7 距离、高度、角度测量问题】 9 【题型8 正、余弦定理与三角函数性质的结合应用】 11 1、正弦定理、余弦定理解三角形 正弦定理、余弦定理解三角形是高考的热点内容，是每年高考必考内容之一.从近几年的高考情况来看，正弦定理、余弦定理在选择题、填空题中考查较多，也会出现在解答题中，在高考试题中出现有关解三角形的试题大多数为较易题、中档题.对于解答题，一是考查正弦定理、余弦定理的简单应用；二是考查正、余弦定理与三角形面积公式的综合应用，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合命题，需要学生灵活求解. 【知识点1 解三角形几类问题的解题思路】 1.正弦定理、余弦定理解三角形的两大作用 (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素。 (2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系. 2.判定三角形形状的途径： (1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系； (2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁. 无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 3.对三角形解的个数的研究 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三 角形不能被唯一确定. (1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知 a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若B=>1，则满足条件的三角形的个数为0； ②若B==1，则满足条件的三角形的个数为1； ③若B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<B=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三 角形内角和等于”等，此时需进行讨论. 4.与三角形面积有关问题的解题策略： (1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积； (2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量. 【知识点2 测量问题的基本类型和解决思路】 1．测量问题 1.测量距离问题的基本类型和解决方案 当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 A,B间不可达也不可视 测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定理得 B, C与点A可视但不可达 测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+ C)，由正弦定理得 C,D与点A,B均可视不可达 测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB. 2.测量高度问题的基本类型和解决方案 当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 底部 可达 测得BC=a，C的大小，AB=a·tan C. 底部不可达 点B与C,D共线 测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值. 点B与C , D不共线 测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值. 3.测量角度问题的解决方案 测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方 位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可. 【题型1 正、余弦定理求三角形的边与角】 【例1】（2023·江西上饶·统考二模）在中，的角平分线交于点，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·四川巴中·统考一模）在中，若，则（