专题01 平行四边形（5种模型与解题方法）-【帮课堂】2023-2024学年八年级数学下册同步学与练（苏科版）

专题01 平行四边形（5种模型与解题方法） 目录 题型一：中点四边形 题型二：正方形中的十字架模型 题型三：四边形中的对角互补模型 题型四：与正方形有关三垂线 题型五：正方形与45°角的基本图 题型一：中点四边形 “中点四边形”，也叫瓦里尼翁平行四边形，是顺次连接四边形各边中点而组成的四边形，是四边形的内接四边形的一种特殊情况，一般有以下三种形态： （原四边形ABCD依次是：凸四边形，凹四边形，折四边形） （一）中点四边形一定是平行四边形 1. 当原四边形对角线相等时，其中点四边形为菱形 2. 当原四边形对角线垂直时，其中点四边形为矩形 3. 当原四边形对角线垂直且相等时，其中点四边形为正方形 （二）中点四边形的周长等于原四边形对角线之和 （三）中点四边形的面积等于原四边形面积的二分之一 一．选择题（共5小题） 1．（2023春•栖霞区校级期中）如图，点、、、分别是任意四边形中、、、的中点，要使四边形是菱形，那么至少应满足的条件是　　 A． B． C． D． 2．（2023春•高港区期中）如图，在四边形中，、、、分别是边、、、、的中点．请你添加一个条件，使四边形为菱形，应添加的条件是　　 A． B． C． D． 3．（2023春•海州区期中）如图，在四边形中，、、、分别是、、、的中点，要使四边形是矩形，则四边形只需要满足一个条件是　　 A． B．四边形是菱形 C． D． 4．（2023春•盱眙县期中）如图，，，，分别是，，，的中点，且，下列结论：①四边形是菱形；②；③若，则；④；其中正确的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2023春•南京期中）如图，在四边形中，、、、分别是线段、、、的中点，要使四边形是菱形，需添加的条件是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共3小题） 6．（2023春•大丰区期中）如图，已知矩形的对角线的长为，顺次连结各边中点、、、得四边形，则四边形的周长为 　　． 7．（2023春•梁溪区校级期末）如图，在四边形中，对角线，若，，则四边形各边中点连线构成的四边形的面积是　　． 8．（2023春•苏州期中）如图，四边形是边长为3的菱形，对角线，点，，，分别为边，，，中点，顺次连接，，，．则四边形的面积为 　　． 三．解答题（共4小题） 9．（2023春•徐州期中）如图，、、、为菱形各边中点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，则　　． 10．（2023春•靖江市期中）如图1，，，，分别是四边形各边的中点，且，，． （1）试判断四边形的形状，并证明你的结论； （2）如图2，依次取，，，的中点，，，，再依次取，，，的中点，，，以此类推，取，，，的中点，，，，根据信息填空： ①四边形的面积是 　　； ②若四边形的面积为，则　　； ③试用表示四边形的面积 　　． 11．（2023春•姜堰区期中）如图，在四边形中，点、、、分别是、、、的中点，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当对角线与满足什么关系时，四边形是菱形，并说明理由． 12．（2023春•盐城期中）阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． （1）这个中点四边形的形状是 　　； （2）如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，、、、分别为、、、的中点，试判断四边形的形状并证明． 题型二：正方形中的十字架模型 一．选择题（共2小题） 1．（2022春•海门市校级期中）如图，、分别是正方形的边、上的点，且，、相交于点，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）中正确的有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（2022春·江苏无锡·八年级校考期末）如图，将边长为3的正方形ABCD纸片沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重合，CG与EF交于点P，取GH的中点Q，连接PQ，则GPQ的周长最小值是（    ） A． B． C． D． 二．填空题（共2小题） 3．（2023春•宿豫区期中）如图所示，将正方形放在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，则点的坐标为 　　． 4．（2023春•建邺区校级期末）如图，四边形，四边形分别是菱形与正方形．若，则　　． 三．解答题（共2小题） 5．（2022春•吴中区校级期中）如图，正方形中，点，分别为，边上的点，且，连接，．求证：． 6．（2023春•淮安期末）问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题： 如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）直接判断：　　（填“”或“” ； 在“问题情境”的基础上，继