2024年中考 数学 专项训练33 微专题　几何最值问题

微专题　几何最值问题 一阶 方法训练 方法一　利用“垂线段最短”解决最值问题 类型一　一动一定 方法解读 如图，点P在直线l外，过点P作直线l的垂线PH，则点P到直线l的距离为PH的长，即“垂线段最短”． 例1　如图，点P是∠MON平分线上的一点，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，连接PQ，若AP＝4，则线段PQ的最小值为______． 例1题图 类型二　两动一定 方法解读 问题：点P是∠AOB的内部或边上一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得PN＋MN的值最小． 解决思路：作点P关于OB的对称点P′，过点P′作OA的垂线，分别与OB，OA交于点N，M. 例2　如图，在矩形ABCD中，AD＝4，∠ADB＝60°，P，K分别是BD，AB上的动点，则PA＋PK的最小值为______． 例2题图 类型三　一动两定(“胡不归问题”) 方法解读 问题：如图，点A为直线l上一定点，点B为直线l外一定点，点P为直线l上一动点，要使kAP＋BP(0＜k＜1)的值最小． 解决思路：一找：找带有系数k的线段AP； 二构：构造以线段AP为斜边的直角三角形； ①以定点A为顶点作∠NAP，使sin ∠NAP＝k； ②过动点P作垂线，构造Rt△APE； 三转化：化折为直，将kAP转化为PE； 四求解：使得kAP＋BP＝PE＋BP，利用“垂线段最短”转化为求BF的长． 例3　如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC上的一个动点，连接DE，若BD＝4，则BE＋DE的最小值为______． 例3题图 方法二　利用“两点之间线段最短”解决最值问题[2015.23(3)，2023广州增城区一模] 类型一　一动两定 方法解读 情形1　异侧线段和的最小值问题 问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB的值最小． 解决思路：连接AB交直线l于点P. 情形2　同侧线段和的最小值问题 问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB的值最小． 解决思路：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l交于点P. 例4　如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，点F是AD上的动点，点E是AB边上一点，且AE＝2，则EF＋CF的最小值为________． 例4题图 例5　如图，在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝2，点D是AB的中点，点E为AC边上一动点，则DE＋BE的最小值为________． 例5题图 方法解读 情形1　同侧线段差最大值问题 问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大． 解决思路：连接AB并延长，与直线l交于点P. 例6　如图，在△ABC中，AB＝3，EF是BC的垂直平分线，点P是EF上的动点，则|PA－PB|的最大值为________． 例6题图 情形2　异侧线段差最大值问题 问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大． 解决思路：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′并延长，与直线l交于点P. 例7　如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，点N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6.点P为对角线BD上一点，则PM－PN的最大值为________． 例7题图 类型二　两动一定 方法解读 问题：点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN周长最小． 解决思路：分别作点P关于OA，OB的对称点P′，P″，连接P′P″，分别与OA，OB交于点M，N. 结论：要使△PMN周长最小，即PM＋PN＋MN的值最小．根据“两点之间线段最短”，将三条线段转化到同一直线上即可． 例8　如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点P为AC上一定点，BP＝6，点D，E分别是AB，BC上的动点，连接DP，EP，DE，则△DEP周长的最小值为________． 例8题图 类型三　两动两定 方法解读 问题：点P，Q是∠AOB的内部两定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得四边形PQNM周长最小． 解决思路：分别作点P，Q关于OA，OB的对称点P′，Q′，连接P′Q′，分别交OA，OB于点M，N. 例9　如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2，点G，H分别是边BC，CD上的动点，则四边形EFGH周长的最小值为________． 例9题图 类型四　三动点 方法解读 问题：点D，E，F分别为AB，AC，BC上的动点，求△DEF的周长的最小值． 解决思路：分别作点D关于AC，BC的对称点D′，D″，连接D′D″，分别交AC，BC于点E，F. 例10　如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝1，M，N，P分