2024年中考 数学 专项训练32 微专题　辅助圆问题

微专题　辅助圆问题 一阶 构造辅助圆 方法一　定点定长作圆 方法解读 条件：如图，在平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定． 动点轨迹：动点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆(依据的是圆的定义，圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合). 推广：在折叠、旋转、对称问题中，有时会利用“定点定长作圆”确定动点的运动轨迹． 例1　如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，点B和点C为定点，请在图中画出点D的运动轨迹． 【思维引导】定点(圆心)为点______，定长(半径)为线段______的长． 例1题图 例2　如图，在矩形ABCD中，点E为AB边的中点，点F是AD上一动点，将△AEF沿EF所在直线折叠得到△A′EF，在点F从点A到点D的运动过程中，请在图中画出点A′的运动轨迹． 【思维引导】定点(圆心)为点______，定长(半径)为线段______的长． 例2题图 方法二　定弦对定角作圆 方法解读 条件：如图，在△ABC中，∠C为定角(∠C＝α)，所对的弦AB长度固定． 情形1：∠C为直角 动点轨迹：如图①，点C在以点O为圆心，AB为直径的圆上运动(不含A，B两点)； 图① 图② 情形2：∠C为锐角 动点轨迹：如图②，点C在以点O为圆心，圆心角为360°－2α的优弧上运动(不含A，B两点)； 　图③ 情形3：∠C为钝角 动点轨迹：如图③，点C在以点O为圆心，圆心角为(360°－2α)的劣弧上运动(不含A，B两点). 例3　如图，在正方形ABCD中，点E为正方形内一动点，∠BEC＝90°，请在图中画出点E的运动轨迹． 【思维引导】定弦为线段________，定角为________． 例3题图 例4　如图，在△ABC中，∠A＝45°，当点A在平面内运动时，请在图中画出点A的运动轨迹． 【思维引导】定弦为线段________，定角为________． 例4题图 例5　如图，在等边△ABC中，点D为△ABC内一动点，∠ADB＝120°，请在图中画出点D的运动轨迹． 【思维引导】定弦为线段________，定角为________． 例5题图 方法三　四点共圆 方法解读 (1)同侧型：如图①，AB为△ABC和△ABD的公共边，点C，D在AB的同侧，∠C＝∠D，此时A，B，C，D四点共圆； 如图②，当∠C＝∠D＝90°时，AB为⊙O的直径． (2)异侧型：如图③，由点A，B，C，D构成的四边形中，若∠D＋∠B＝180°，则A，B，C，D四点共圆，∠A＋∠C＝180°. 图③ 提示：可用反证法证明 例6　如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为平面内一点，∠ADC＝∠BAC，过点C作CD的垂线，交DA的延长线于点E，则共圆的四个点为点________，请画出这四个点所在的圆． 【判断依据】____________________________． 例6题图 例7　如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D，E，F分别为AB，BC，AC上的点，∠DFE＝90°，则共圆的四个点为点________，请画出这四个点所在的圆． 【判断依据】____________________________． 例7题图 二阶 利用辅助圆求最值 方法一　点圆最值 方法解读 已知平面内一定点D和⊙O，点E为⊙O上一动点，设点O与点D之间的距离为d，⊙O的半径为r. 位置关系 点D在⊙O内 点D在⊙O上 点D在⊙O外 图示 DE的最大值 d＋r 2r d＋r 此时点E的位置 连接DO并延长交⊙O于点E DE的最小值 r－d 0 d－r 此时点E的位置 连接OD并延长交⊙O于点E 点E与点D重合 连接OD交⊙O于点E 【应用依据】直径是圆中最长的弦． 例8　有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2. (1)确定点E运动轨迹的依据为(　　) A. 定点定长作圆 B. 定弦对定角作圆 C. 四点共圆 (2)在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为________． 例8题图 方法二　线圆最值 方法解读 已知⊙O及直线l，⊙O的半径为r，点Q为⊙O上一动点，圆心O与直线l之间的距离为d，点Q到直线l的距离为m. 位置关系 直线与⊙O相离 直