2024年中考 数学 专项训练31 点、直线与圆的位置关系

点、直线与圆的位置关系 考点精讲 一题串讲重难点 重难考法突破——与切线有关的证明与计算 突破设问一　与切线判定有关的证明 类型一　切点确定，连半径，证垂直 方法一　利用平行线证垂直 方法解读 当图中有要证切线的垂线，可证明过切点的半径与这条垂线平行： 1．“角平分线＋两半径”组成的等腰三角形，利用角平分线性质及等边对等角得到的等角证得平行； 2．连接已知中点与圆心构造中位线，利用中位线的性质证得平行． 例1　如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CD交AB的延长线于点D，过点B作BE⊥CD于点E，BC恰好平分∠ABE.求证：CD是⊙O的切线． 例1题图 方法二　利用三角形全等证垂直 方法解读 常在“共点双切线型”图形中运用，通过连接圆心与两条切线的交点构造全等三角形来证得垂直． 例2　如图，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，过点O作OD⊥AC，过点A的切线交OD于点D，连接CD.求证：DC是⊙O的切线． 例2题图 方法三　利用角度转化证垂直 方法解读 题干中直接给出角度关系或给出切线与弦的夹角等于某个圆周角时，常通过等角代换来证明． 例3　如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，OD⊥AB交AC于点E，连接CD，∠DCE＝∠DEC.求证：CD是⊙O的切线． 例3题图 类型二　切点不确定，作垂直，证半径 方法解读 当直线与圆的公共点不确定时，常用的方法有： 1．当有角平分线时，可利用角平分线的性质，来证明所作垂线段等于半径； 2．当存在线段相等、角相等等条件时，通过构造直角三角形，利用直角三角形的性质，来证明所作垂线段等于半径． 例4　如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BO是∠ABC的平分线，交AC于点O，以点O为圆心，OC长为半径作⊙O.求证：AB是⊙O的切线． 例4题图 例5　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O为AC上一点，以点O为圆心，OC长为半径作圆，过点A作 AD⊥BO交BO的延长线于点D，若∠ABD＝∠OAD，求证：AB是⊙O的切线． 例5题图 突破设问二　与切线性质有关的证明与计算 方法解读 证明两条线段垂直的方法： 1．两锐角互余转化得直角； 2．等腰三角形三线合一得直角； 3．矩形得直角； 4．平行线性质求直角； 5．全等三角形证直角； 6．角平分线上的点到角两边距离相等得直角． 例6　如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，且BC＝CD，EF与⊙O相切于点C，交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F.求证：AF⊥EF. 例6题图 方法解读 证明两条线段平行的方法： 1．根据同位角相等、内错角相等或同旁内角互补的方法证明，根据角之间的等量代换找到相应的角即可； 2．通过证明其中一条线段是以另一条线段为边的三角形的中位线即可； 3．通过证明以这两条线段为对边的四边形为平行四边形、矩形、菱形或正方形即可． 例7　如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交BC的延长线于点E.求证：AC∥DE. 例7题图 方法解读 证明角相等(或角平分线)的方法： 1．根据直角三角形中两锐角互余进行等量代换得到对应的角相等； 2．根据平行线与等腰三角形的性质进行等量代换得到对应的角相等； 3．通过证明两个三角形全等，得到对应的角相等； 4．若两个角为圆周角，可通过证明圆周角所对的弧或弦相等得到对应的角相等． 例8 核心考法 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，DE与⊙O相切，交AB的延长线于点E，连接AD，若BC∥DE，求证：AD平分∠BAC. 例8题图 方法解读 证明两条线段相等的方法： 1．若所证两线段相连不共线，则可以考虑：(1)证两线段所在三角形全等；(2)将两条线段放到一个三角形中，利用等腰三角形或等边三角形等角对等边来证明； 2．若所证两线段相连共线，则可以考虑等腰三角形三线合一或直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来证明； 3．若所证两线段平行，则可以考虑特殊四边形对边相等来证明． 例9　核心考法 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E.求证：AE＝CE. 例9题图 方法解读 求三角函数值的方法： 求未知角的三角函数值，实质是将角度放置在直角三角形中求线段长的比值，可构造直角三角形或通过等角转换来求解． 例10　核心考法 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O是边AB上一点，以点O为圆心，OB长为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD.若OB＝AB，求cos ∠CBA的值． 例10题图 方法解读 求线段长的方法： 1．若题干中含特殊角度(如30°，45°，60°等角度)或出现三角函数sin，cos，tan时，一般考虑用