专题10 平面向量与解三角形（解密讲义）-【高频考点解密】2024年高考数学二轮复习高频考点追踪与预测（安徽专用）

专题10 平面向量与解三角形（解密讲义） 【知识梳理】 【考点1】解三角形 1.正弦定理 ＝＝＝2R 常见变形： (1)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c； (2)＝＝＝＝2R； (3)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； (4)sin A＝，sin B＝，sin C＝. 2．三角形面积公式：S＝absin C＝bcsin A＝casin B. 3．在△ABC中，有以下结论： (1)A＋B＋C＝π； (2)sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C； (3)＋＝； (4)sin ＝cos ，cos ＝sin ，tan ＝. 4．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两角和任一边，求其它两边和一角． (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角． 已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，可能一解或两解．例如：已知a、b和A，用正弦定理求B时的各种情况. A为锐角 a<bsin A a＝bsin A bsin A<a<b a≥b 无解 一解(直角) 两解(一锐角，一钝角) 一解(锐角) A为直角 或钝角 a≤b a>b 无解 一解(锐角) 5. 余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍． 即a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝c2＋a2－2cacos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C. 余弦定理的推论 cos A＝；cos B＝；cos C＝. 6．在△ABC中： (1)若a2＋b2－c2＝0，则C＝90°； (2)若c2＝a2＋b2－ab，则C＝60°； (3)若c2＝a2＋b2＋ab，则C＝135°. (4)c2>a2＋b2⇔C为钝角； (5)c2<a2＋b2⇔C为锐角． 7.用余弦定理可以解决两种解三角形的题型： (1)已知三边解三角形． (2)已知两边及一角解三角形． (3) 余弦定理是三角形边角之间关系的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例． 方法技巧： 用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即用转化思想解决问题，一般有两条思考路线： (1)化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系． (2)化角为边，再进行代数恒等变换，求出三角之间的数量关系． 【考点2】平面向量 1.平面向量的概念 （1）数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. （2）向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：； ④向量的大小―长度称为向量的模，记作||. （3）零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别. ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. （4）平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行. 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. （5）相等向量定义： 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关. （6）共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量，因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系； （2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 2.向量的加减运算 （1）向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. （2）三角形法则（“首尾相接，首尾连”） （3）加法的交换律和平行四边形法则 （4）用“相反向量”定义向量的减法 “相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作 a 规定：零向量的相反向量仍是零向量.任一向量与它的相反向量的和是零向量. 如果a、b互为相反向量，则a = b， b = a， a + b = 0 （5） 向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差. 即：ab=a+(b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 3．平面向量数量积（内积） （1）定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ， 则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，（０≤θ≤π）. 并规定0向量与任何向量的数