2024年中考数学高频压轴题训练 二次函数压轴题（特殊三角形问题）

2024年中考数学高频压轴题训练 二次函数压轴题（特殊三角形问题） 1．如图，已知在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过点A、C的拋物线（a、b为常数，且）与x轴的另一个交点为，抛物线的对称轴l与x轴交于点H． (1)求点A的坐标和抛物线的函数表达式； (2)在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使得以点A、C、P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线与轴交于，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点为直线下方抛物线上的两点，点的横坐标比点的横坐标大，过点作轴交于点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 3．如图，抛物线与x轴交于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若为抛物线对称轴上的一点，连接，，将沿直线翻折得到，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标； (3)在抛物线上是否存在一点，使是以为底边的等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点P的坐标． 4．如图，如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，点P为直线上方抛物线上的动点，连接，，直线与抛物线的对称轴l交于点E． (1)求：①抛物线的解析式；②直线的解析式； (2)求：①的面积最大值；②点E的坐标； (3)点M是抛物线的对称轴l上一动点．是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5．已知抛物线（）与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧）；与y轴交于点C，顶点为D．    (1)如图1，若， ①则D的坐标为___________； ②当时，抛物线的最小值为3，最大值为4，则m的取值范围为___________． (2)如图2，P是抛物线上一点，Q为射线上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，的面积为． ①求证：． ②连接、、、，若，，试判断的形状是否随着n的变化而变化？并说明理由． 6．在平面直角坐标系中，横坐标分别为m，，的点A、B、C在抛物线（a为常数，）的图像上，连接，若点O到的距离等于线段的长． (1)求的值； (2)如图1，当时，若点D为直线BC上方抛物线上一点，过点D作x轴的垂线，分别交于点E、F，连接，若为直角三角形，求点D的坐标； (3)如图2，当时，连接，点G为的中点，是第四象限抛物线上一动点，连接交抛物线于点S，直线与直线交于点N．问点是否在一条定直线上？若是，求该直线的表达式；若不是，请说明理由． 7．已知二次函数经过点、，与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D． (1)求此二次函数解析式； (2)连接、、，求的面积； (3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过，两点，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若直线经过，两点，求直线的函数表达式； (3)在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求点的坐标； (4)设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标． 9．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上的动点，连接，，直线与抛物线的对称轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积最大值； (3)点是抛物线的对称轴上一动点，请直接写出所有符合条件的点的坐标使得为等腰三角形． 10．定义：对于抛物线（、、是常数，），若，则称该抛物线是黄金抛物线，已知平面直角坐标系，抛物线是黄金抛物线，与轴交于点，顶点为． (1)求此黄金抛物线的表达式及点坐标； (2)点在这个黄金抛物线上． ①点在这个黄金抛物线的对称轴上，求的正弦值． ②在射线上是否存在点，使以点、、所组成的三角形与相似，且相似比不为1．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图1，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接，，． (1)求该抛物线所对应的函数解析式； (2)如图1，当点F的坐标为，过点P作x轴的垂线，交线段于点D，求线段长度的最大值； (3)如图2，是否存在点F，使得是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 12．已知：如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是线段上方抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交线段、轴于点、