浙江省宁波市宁波九校2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题

宁波市2023学年第一学期期末九校联考 高二数学试题 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 直线的横截距为（ ） A. 1 B. C. D. 3 3. 已知是可导函数，如图所示，直线是曲线在处的切线，令，是的导函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 事件A与事件B互斥，则它们的对立事件也互斥． B. 若，且，则事件A与事件B不是独立事件． C. 若事件A，B，C两两独立，则． D. 从2个红球和2个白球中任取两个球，记事件{取出的两个球均为红色}，{取出的两个球颜色不同}，则A与B互斥而不对立． 5. 已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线（斜率大于0）与圆交于M，N两点，且则（ ） A 1 B. C. 2 D. 4 6. 电信网络诈骗作为一种新型犯罪手段，己成为社会稳定和人民安全的重大威胁．2023年11月17日外交部发言人毛宁表示，一段时间以来，中缅持续加强打击电信诈骗等跨境违法犯罪合作，取得显著成效．此前公安部通过技术手段分析电信诈骗严重的地区，在排查过程，若某地区有10人接到诈骗电话，则对这10人随机进行核查，只要有一人被骗取钱财，则将该地区确定为“诈骗高发区”．假设每人被骗取钱财的概率为且相互独立，若当时，至少排查了9人才确定该地区为“诈骗高发区”的概率取得最大值，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知A，B，C是抛物线上的三点，且，若，则点A到直线BC的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 若存在正实数，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 三个向量共面，即它们所在直线共面． B. 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底． C. 若直线l的方向向量，平面的法向量为，则直线． D. 设为平面与平面的法向量，若，则平面与平面所成角的大小为． 10. 已知两组样本数据和的均值和方差分别为，和，若且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. B. 在单调递增 C. 有最小值 D. 的最大值为 12. 菱形内接于椭圆，其周长的值可以取到（ ） A. B. C. D. 10 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若直线l一个方向向量是，则直线l的倾斜角是________． 14. 已知点，动点P满足直线与的斜率之积为，则点P的轨迹方程___________． 15. 已知正方体边长为1，，平面BED，平面，平面交于一点M，则点M到平面的距离为___________． 16. 对任意，函数恒成立，则a的取值范围为___________． 四、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知圆及圆内一点，P为圆M上的动点，以P为圆心，PA为半径的圆P． （1）当且P在第一象限时，求圆P的方程； （2）若圆P与圆恒有公共点，求r的取值范围． 18. 用分层随机抽样从某校高二年级800名学生的数学成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个．再将40个男生成绩样本数据分为6组：，绘制得到如图所示的频率分布直方图． （1）估计男生成绩样本数据的第80百分位数； （2）若成绩不低于80分的为“优秀”成绩，用样本的频率分布估计总体，估计高一年级男生中成绩优秀人数； （3）已知男生成绩样本数据平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，求总样本的平均数和方差． 19. 如图所示，在三棱锥中，侧棱底面ABC，，M为棱PC的中点，N为棱BC的上的动点． （1）求证：． （2）若二面角的余弦值为，求的值． 20. 已知函数． （1）求函数的极值点个数； （2）若函数存在极大值点，且使得恒成立，求实数a的取值范围． 21. 如图所示，设抛物线，过抛物线E内一点的两条直线分别与抛物线交于A，C和B，D，且满足，其中，当轴时，． （1）求抛物线E的方程； （2）当变化时，是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． 22. 已知椭圆，离心率为，点在曲线上，过双曲线上一点P（点P在第