2024年九年级中考数学复习讲义　二次函数最值问题题型归纳

二次函数最值问题题型归纳 一、定轴定区间类最值问题 【例1】已知二次函数的图象经过坐标原点O和，直线AB交y轴于点，动点在直线AB上，且，过点C作x轴的垂线和抛物线交于点D，则CD的最值为（ ） A．有最小值9 B．有最大值9 C．有最小值8 D．有最大值8 解：∵二次函数的图象经过坐标原点O和，∴，，解得， ∴二次函数为：，又∵直线AB交y轴于点，设过直线AB的直线方程为，将A、B两点的坐标代入得：，则，， ∴，∵，∴当时，CD取得最大值，最大值为9，∴选择B项． 二、定区间动轴类最值问题 【例2】当，二次函数有最大值4，则m的值为（ ） A． B．3或 C．2或 D．2或3 解：∵二次函数，则其对称轴为直线，顶点为， （1）当时，此时二次函数图像对称轴在给定区间的左侧，则当时取得最大值．又∵其最大值为4，代入可得，解得：，舍去； （2）当时，二次函数图像的对称轴处在给定区间之中，因此，当时取得最大值4，即，解得：（舍去）或； （3）当时，二次函数图像对称轴在给定区间的右侧，则当时取得最大值．代入可得，解得：； 综上可知，当或时满足题意，选择C项． 三、定轴动区间类最值问题 【例3】二次函数，当，且时，y的最小值为2m，最大值为2n，则的值为（ ） A． B．2 C． D． 解：（1）当，由二次函数性质可知，时取最小值，即，整理解得：（舍去）或．当时，y取得最大值，，整理解得：（舍去）或（舍去）； （2）当，时取最小值，即，整理解得：（舍去）或．当时，y取最大值，，； 综上可知，，，∴，选择D项． 四、模型类最值问题 【例4】如图1所示，已知直线（k，b为常数）分别和x轴，y轴交于点，，抛物线与y轴交于点C，点E在抛物线的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，则的最小值为（ ） A．2 B．4 C．2.5 D．3 解：如图2，设点C关于抛物线对称轴的对称点为， 由对称性可知，则，要想其值最小，则只需、E、F三点在一条直线上且其所在直线和直线AB垂直， ∵直线分别和x轴，y轴交于点，，则将两点代入得，则直线， 又∵抛物线与y轴交于点C，令，，∴， 又∵抛物线的对称轴为直线，则，不难求出过点且和直线AB垂直的直线方程为， 将其和联立，可求得点， 则由两点间的距离公式可求得，∴的最小值为4，选择B项． 五、几何图形类最值问题 【例5】如图3，已知圆O的半径为3，弦，A为圆O上不与点C、点D重合的一动点，连接AO并延长交CD于点E，交圆O于点B，P为CD上一点，当时，的最大值为（ ） A．4 B．6 C．8 D．12 解：如图4，延长BP交圆O于点F，连接AF、CF、BD， ∵，∴， 又∵AB为圆O的直径，∴，∴，∴，∴， 由圆周角定理可得， 又∵，∴，∴， ， 设，∴，∴， ∴由二次函数性质可得，当时，其取得最大值8，选择C项． 六、实际问题类最值问题 【例6】某县农业合作社对一种特色水果进行线上销售，共销售35次．其中该种水果的成本价为每吨4万元，销售结束后经过统计得到如下信息：（1）设第x次线上销售水果y（吨），且第1次线上销售水果为39吨，而后每一次总比前一次销售减少1吨；（2）该水果的销售单价p（万元／吨）与销售场次x之间的函数关系为：，且当时，；时，．问：在这35次线上销售中，哪一次线上销售获得利润最大，最大利润是多少？ 解：由信息（1）可知；由信息（2）将对应的数据代入可得，， ∴， 设每次销售获得的利润为w（万元），则由销售单价、销售量、成本、利润之间的关系可得：当时，，由二次函数性质可得，当时，w最大，最大值为万元；当时，，由反比例函数性质可得，当时，w最大，最大值为万元； 综上可知，线上第19次销售时获得的利润最大，最大为79.8万元． 【达标检测】 一．选择题（共19小题） 1．（2023秋•启东市期中）已知二次函数的图象与x轴最多有一个公共点，若的最小值为3，则t的值为（ ） A． B．或 C．或 D． 2．（2023秋•平山县期中）已知关于x的二次函数，在的取值范围内，若，则（ ） A．函数有最大值 B．函数有最大值5 C．函数没有最小值 D．函数没有最大值 3．（2023•金安区校级一模）已知非负数a，b，c满足，，设的最大值为m，最小值为n，则的值为（ ） A．9 B．8 C．1 D． 4．（2023•惠山区校级模拟）如图，已知点，O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O、A），过P、O两点的二次函数和过P、A两点的二次函数的图象