决胜2024年高考数学专项特训：数列（解答题篇）

决胜2024年高考数学专项特训:数列（解答题篇） 1．已知正项数列的前项和，满足：． (1)求数列的通项公式； (2)记，设数列的前项和为，求． 2．已知数列，满足 . (1)证明： 数列为等比数列； (2)令，求数列的前n项和． 3．已知等比数列满足，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 4．已知数列的前n项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 5．记为数列的前项和，已知. (1)证明：是等差数列； (2)若，，成等比数列，求. 6．对于给定的数列，如果存在实常数，使得对于任意都成立，我们称数列是“优美数列”． (1)若，数列是否为“优美数列”？若是，指出它对应的实常数，若不是，请说明理由； (2)已知数列满足．若数列是“优美数列”，求数列的通项公式． 7．设为给定的正奇数，定义无穷数列，其中.若是数列中的项，则记作. (1)若，写出的前5项； (2)求证：集合是空集； (3)记集合，，求集合. 8．已知数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项的和． 9．已知数列满足，且对任意都有. (1)设，证明：是等差数列； (2)设，求数列的前项和. 10．在数列中，，. (1)求，； (2)记. （i）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； （ii）对任意的正整数，设，求数列的前项和. 11．已知数列的前项和为，． (1)证时：为等比数列． (2)求数列的前项和． 12．已知数列中，，数列的前n项和满足：． (1)证明；数列是等比数列，并求通项公式； (2)设，且数列的前n项和，求证：． 13．公比为的等比数列的前项和． (1)求与的值； (2)若，记数列的前项和为，求证：． 14．已知数列是递增的等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 15．按照如下规则构造数表：第一行是：2；第二行是：；即3，5，第三行是：，即（即从第二行起将上一行的数的每一项各项加1写出，再各项加3写出）.记第行所有的项的和为. (1)求； (2)试求与的递推关系，并据此求出数列的通项公式； (3)设，求. 16．已知数列，满足，为数列 的前项和，，，记的前项和为，的前项积为且. (1)求数列，的通项公式； (2)令 ，求数列的前项和. 17．已知数列满足，且点在直线上. (1)求数列的通项公式； (2)数列前项和为，求能使对恒成立的（）的最小值. 18．已知为有穷正整数数列，且，集合．若存在，使得，则称为可表数，称集合为可表集． (1)若，判定31，1024是否为可表数，并说明理由； (2)若，证明：； (3)设，若，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1) (2) 【分析】（1）当时，求出，当时，，两式相减可得，则是以1为首项，以2为公差的等差数列，即可得出答案. （2）由（1）可得，再由裂项相消法求解即可. 【详解】（1）当时，，解得． 当时，由①，可得，② ①②得：，即． ，． 是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列的通项公式． （2）由（1）可得， ， . 2．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将条件中两个递推式相加整理可得； （2）先求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求和. 【详解】（1）由题， 所以， 得，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）知， 则， 数列的前n项和 ，① 则，② 由①-②得：， 则， 所以. 3．(1) (2) 【分析】（1）根据代入等比数列通项公式，求公比； （2）利用错位相减法，即可求解. 【详解】（1）设的公比为， 由已知得，所以，， 所以. （2） 设数列的前项和为， 则，① 所以，② ①-②得， . 所以. 4．(1) (2) 【分析】（1）根据，求出是首项为，公比为2的等比数列，得到通项公式； （2）求出，设的前项和为，分和两种情况，结合等差数列求和公式求出答案. 【详解】（1）①， 当时，， ∴． 当时，②， 式子①-②得， 故， ∴数列是首项为，公比为2的等比数列， ∴； （2）由（1）可得，， 设的前项和为， 当时，，故， 当时，，故 ， 故 5．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由与之间的关系，根据等差数列的定义可得结果； （2）根据条件求出通项公式，由合并求和及等差数列求和公式对n分类讨论可得结果. 【详解】（1）因为，即，所以， 当时，，化简得：， 故是以为公差的等差数列. （2）由（1）可知，数列的公差为，因为，，成等比数列， 即，则，化简得， ，设， 当n为偶数时， ； 当n为奇数时， 故. 6．(1)为“优美数列”，理由见解析 (2) 【分析】（1）由可得数列是“优美数列”．由可得是“优美数列”．