湖南省邵阳市2024届高三第一次联考数学试题

2024年邵阳市高三第一次联考试题卷 数学 本试卷共22个小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴区”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则集合的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若（为虚数单位），则（ ） A B. C. 1 D. 2 3. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 若抛物线上一点到焦点的距离是，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 城步苗族自治县“六月六山歌节”是湖南省四大节庆品牌之一，至今已举办25届.假设在即将举办的第26届“六月六山歌节”中，组委会要在原定排好的10个“本土歌舞”节目中增加2个“歌王对唱”节目.若保持原来10个节目的相对顺序不变，则不同的排法种数为（ ） A. 110 B. 144 C. 132 D. 156 6. 已知向量.若与的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 7. 在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是和，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知平面直角坐标系中，，动点满足，点的轨迹为曲线，点到直线的距离的最小值为，下列结论正确的有（ ） A. 曲线的方程为 B. C. 曲线的方程为 D. 10. 下列命题中，说法正确的有（ ） A. 设随机变量，则 B. 成对样本数据的线性相关程度越强，样本相关系数越接近于1 C. 决定系数越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 D. 基于小概率值检验规则是：当时，我们就推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过；当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为和独立 11. 已知函数与其导函数的定义域均为，且与均为偶函数，则下列说法一定正确的有（ ） A. 关于对称 B. 关于点对称 C. D. 12. 如图所示，四边形是长方形，，半圆面平面.点为半圆弧上一动点（点不与点重合）.下列说法正确的有（ ） A. 三棱锥的四个面都是直角三角形 B. 三棱锥体积的最大值为4 C. 异面直线与的距离的取值范围为 D. 当直线与平面所成角最大时，平面截四棱锥外接球的截面面积为 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知数列的首项为，，则__________. 14. 已知，则__________. 15. 已知，则__________. 16. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点，它们的离心率分别为，点为它们的一个交点，且.当取最小值时，的值为__________. 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 甲、乙、丙三名同学准备参加本校知识竞赛，规定比赛成绩达到90分以上（含90分）获优秀等级.为预测他们的知识竞赛情况，收集了甲、乙、丙三人在学校的以往知识竞赛成绩，整理得到如下数据（单位：分）： 甲： 乙：. 丙：. 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的知识竞赛成绩相互独立. （1）估计甲在本次知识竞赛中未获优秀等级的概率； （2）设表示甲、乙、丙三人在本次知识竞赛中获得优秀等级的总人数，估计的数学期望. 18. 在中，角所对的边分别为，向量，向量，且. （1）求证：； （2）延长至点，使得.当最大时，求的值. 19. 如图所示，圆台的上、下底面圆半径分别为和，为圆台的两条不同的母线. （1）求证：； （2）截面与下底面所成的夹角大小为，且截面截得圆台上底面圆的劣弧的长度为，求截面的面积. 20. 已知递增的等差数列满足：成等比数列. （1