2024年中考 数学 专项训练26 半角模型

半角模型 一阶 认识模型 模型分析 图形特点：一个角包含着该角的半角，共顶点且大角两边相等，常见模型：120°角包含60°角，90°角包含45°角，或出现关系． 【模型背景1】 如图，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°. 辅助线作法：旋转法：将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，使得AD与AB重合． 注：使用旋转法时，需证明G，B，C三点共线． 结论：①△AEF≌△AEG； ②EF＝BE＋DF； ③S△AEF＝S△ABE＋S△ADF. 【模型背景2】 如图，在等腰直角△ABD中，∠GAH＝45°. 辅助线作法一： 旋转法：将△ABG绕点A逆时针旋转90°得到△ADK，使AB与AD重合，连接HK. 结论：①△AHK≌△AHG； ②△GAH∽△ABH∽△GDA； ③∠HDK＝90°； ④GH2＝BG2＋DH2. 辅助线作法二： 翻折法：将等腰直角三角形的两腰分别沿45°角的两边折叠，使两直角边重合，两底角构成直角． 结论：①∠GMH＝90°； ②GH2＝BG2＋DH2. 例1　【问题提出】 某兴趣小组的两名同学小宁、小明在一次综合与实践活动中探究不同图形背景下半角模型的特点． 　例1题图① 【操作发现】 (1)如图①，小宁将正方形纸片ABCD折叠，使得边AB，AD都落在对角线AC上，展开得到折痕AE，AF，连接EF，则∠EAF＝________°； 【结论猜想】 (2)小宁将图①中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边所在直线分别交边BC，CD于点M，N，连接MN，如图②.小宁猜想结论：MN＝BM＋DN.请你帮小宁证明她的猜想； 例1题图② 【类比探究】 (3)小明在小宁得到图②的基础上，连接正方形对角线BD，分别交∠MAN的边AM，AN于点G，H，将正方形纸片沿对角线BD剪开，得到如图③所示的等腰直角三角形纸片，他猜想：GH2＝BG2＋HD2，请你帮小明证明他的猜想． 例1题图③ 【方法一】旋转法 【方法二】翻折法 【模型背景3】 如图，点D为等边△ABC外一点，BD＝CD，∠BDC＝120°，∠EDF＝60°. 辅助线作法：旋转法：将△DBE绕点D顺时针旋转120°得到△DCG，使得DB与DC重合． 注：使用旋转法时，需证明A，C，G三点共线． 结论：①△DGF≌△DEF； ②EF＝BE＋CF. 例2　如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠D＝∠B＝90°，点E，F分别为边BC，CD上的点，连接AE，AF，EF，∠EAF＝60°，求证：EF＝BE＋DF. 例2题图 二阶 应用模型 1. 如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，AB＝4，BE＝1. (1)求证：△AEF是等边三角形； (2)求EF的长． 第1题图 基础题 1. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝60°，E，F 分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝30°，连接EF，试判断BE，EF，DF 之间的数量关系，并说明理由． 第1题图 2. 数学兴趣小组探究了以下几何图形，如图①，把一个含有45° 角的三角尺放在正方形ABCD中，使45° 角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45° 角的两边CM，CN始终与正方形的边AD，AB所在直线分别相交于点M，N，连接MN，可得△CMN. 【探究一】如图②，把△CDM绕点C逆时针旋转90° 得到△CBH，同时得到点H在直线AB上． 求证：∠CNM＝∠CNH； 【探究二】 在图②中，连接BD，分别交CM，CN于点E，F. 求证：△CEF∽△CNM. 图① 　 图② 第2题图 ( 第 1 页 共 12 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 微专题　半角模型 一阶　认识模型 例1　(1)解：45； 【解法提示】∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝90°，∵折叠后边AB，AD都落在对角线AC上，∴由折叠的性质知∠BAE＝∠CAE＝∠BAC，∠DAF＝∠CAF＝∠DAC，∴∠EAF＝∠CAE＋∠CAF＝∠BAC＋∠DAC＝∠BAD＝45°. (2)证明：如解图①，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，使AD与AB重合，由旋转的性质可知，△ADN≌△ABG， ∴DN＝BG，AN＝AG，∠NAD＝∠GAB，∠D＝∠ABG＝90°， ∴∠ABG＋∠ABM＝180°，即G，B，M三点共线， ∵∠MAN＝45°，∠BAD＝90°， ∴∠BAM＋∠NAD＝45°， ∴∠BAM＋∠GAB＝45°，即∠MAG＝45°， ∴∠MAG＝∠MAN， 在△ANM和△AGM中， ， ∴△ANM≌△AGM(SAS)， ∴MN＝MG， ∵MG＝BM＋BG＝BM＋DN， ∴MN＝MG＝BM＋DN；