第11节 几何综合 2023-2024学年北师大版八年级上册数学成都地区寒假专题基础作业

第11讲 几何综合（学生版） 目标层级图 课前检测 1．在四边形中，对角线平分． （1）如图①，当，时，求证：． （2）如图②，当，与互补时，线段、、有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明． （3）如图③，当，与互补时，线段、、有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明． 课中讲解 一.中点问题 例1．如图，在中，，于，是斜边的中点． 若，，求的长； 若，求的度数． 过关检测 1．如图所示，四边形由一个的与等腰拼成，为斜边的中点，求的大小． 例2．已知：如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）与的大小关系如何？试证明你的结论． 过关检测 1．在中，，，点是上一点． （1）如图1，平分，求证：； （2）如图2，点在线段上，且，，求证：； （3）如图3，，过点作交的延长线于点，连接，过点作交于，求证：． 例3．阅读以下材料，完成以下两个问题． 阅读材料已知：如图，中，、在上，且，过作交于点，．求证：平分． 结合此题，，点是的中点，考虑倍长，并且要考虑连结哪两点，目的是为了证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示 以图（1）为例，证明过程如下： 证明：延长至，使，连结．在和中，，．，．， ．．．，． ．平分． 问题1：参考上述方法，请完成图（2）的证明． 问题2：根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形，，，，，求的长． 过关检测 1．如图2，在中，是三角形的中线，为上一点，且，连结并延长交于点，求证：． 二.对角互补模型 例4．如图，，平分．将一块足够大的三角尺的直角顶点落在射线的任意一点上，并使三角尺的一条直角边与（或的延长线）交于点，另一条直角边与交于点． （1）如图1，当与边垂直时，证明：； （2）如图2，把三角尺绕点旋转，三角尺的两条直角边分别交，于点，，在旋转过程中，与相等吗？请直接写出结论：　　（填，，， （3）如图3，三角尺绕点继续旋转，三角尺的一条直角边与的延长线交于点，另一条直角边与交于点．在旋转过程中，与相等吗？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由． 例5．四边形被对角线分为等腰直角和直角，其中和都是直角，另一条对角线的长度为2，求四边形的面积． 过关检测 1．【感知】如图①，，平分．于点，于点，可知．（不要求证明） 【拓展】在图①中，作，，分别交射线，于，两点，求证：． 【应用】如图②，与均为直角三角形，平分，，两点在的异侧．已知，，，求线段的长． 2．如图，正方形的顶点与正方形的对角线交点重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是　　． 例6．如图，，平分，，与射线相交于点，与直线相交于点．把绕着点旋转． （1）如图1，当点在射线上时，求证：； （2）如图2，当点在射线的反向延长线上时，与，之间的数量关系是 　 （直接写出结论，不必证明） 过关检测 1．如图，一伞状图形，已知，点是角平分线上一点，且，，与交与点，与交于点． （1）如图一，当与重合时，探索，的数量关系． （2）如图二，将在（1）的情形下绕点逆时针旋转度，继续探索，的数量关系，并求四边形的面积． 三.手拉手模型 例7．（2018秋•双流区期末）如图，已知和都是等腰直角三角形，，点在线段上． （1）求的度数； （2）当点在线段上运动时不与重合），请写出一个反映，，之间关系的等式，并加以证明． 过关检测 1．如图，在等腰三角形中，，是内一点，，，，将绕点逆时针旋转后与重合．求： （1）线段的长； （2）的度数． 例8．（2017秋•武侯区期末）如图，和都是等边三角形，连接，，． （1）猜想与的数量关系，并说明理由； （2）给出定义：若一个四边形中存在一组邻边的平方和等于一条对角线的平方，则这个四边形为勾股四边形．如图，若，求证：四边形是勾股四边形； （3）设，，的面积分别是，，，若，试探究与之间满足的等量关系． 过关检测 1．在中，，，，点是射线上的一个动点， 是等边三角形，点是的中点，连接． （1）如图，点在线段上时， ①求证：； ②连接，设线段，，求的值； （2）当时，求的面积． 四.半角模型 例9．问题背景：“半角问题” （1）如图：在四边形中，，，．，分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系． 小明同学探究此“半角问题”的方法是：延长到点．使．连结，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是　　 ；（直接写结论，不需证明） 探索延伸：当聪明的你遇到下面的问题该如何解决呢？ （2）若将（1）中“，”换为．其它条件不变．如图1，试问线段、、具有怎样的数量关系，并证明． （3）如图2，在四边形中，，，、分别是