专题3-2 立体几何平行与垂直的证明与应用15类题型汇总-2023-2024学年高一下学期数学模型·方法·技巧专题突破（人教A版2019必修第二册）

专题3-2 立体几何平行与垂直的证明与应用15类题型汇总 知识点梳理 模块一 平行的证明以及应用 题型一 证明线面平行的几种常用方法 【方法1】由中位线得出平行关系 【方法2】构造平行四边形得到平行关系 【方法3】由面面平行得出线面平行 【方法4】构造2个平面的交线（A字型相似） 题型二 证明四点共面 题型三 证明面面平行 题型四 平行关系的应用：等积变形求体积 题型五 平行的存在性问题（确定点的位置） 题型六 平行的存在性问题（确定动点轨迹） 题型七 截面问题（通过作平行线或延长线补全截面） 模块二 垂直的证明以及应用 题型八 垂直与平行关系的判断 题型九 证明线面垂直 题型十 证明面面垂直 题型十一 已知面面垂直 题型十二 证明异面直线垂直 题型十三 构造线面垂直求点到平面距离 题型十四 垂直的存在性问题（确定点的位置） 题型十五 垂直的存在性问题（确定动点轨迹） 知识点梳理 一、平行关系思维导图 序号 图形展示 符号语言 文字语言 1 1 垂直于同一平面的两个直线平行 2 如果两条直线分别与第三条直线平行则这两条直线平行 3 线段成比例两直线平行（中位线） 4 平行四边形对面平行 2 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 3 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 4 一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行 5 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 6 一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行 7 两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行 常用结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. (2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. (3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥B． (4)若α∥β，m⊂α，则m∥β. 二、垂直关系的判断与性质 线线垂直： （1）勾股定理逆定理 （2）等腰三角形三线合一 （3）菱形对角线互相垂直 （4）结合余弦定理得出直角 线面垂直 文字语言 图形表示 符号表示 判定 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 面面垂直 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 垂直常用结论： (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． 三、截面问题 一、如何做截面？ 作出过EFG三点的截面 法一：作平行线并标出棱上的交点 法二：作延长线并标出棱上的交点 二、如何确定截面是否已经“搞定”？ 1 题目所要求的点是否都用上？ 2 你所画的线是否围成了一个封闭图形？ 3 这个封闭图形的边是否都在几何体的表面(不能在几何体内部)？ 四、存在性问题 平行存在性问题：过定点构造出平行平面（过相关点作2次平行） 垂直存在性问题：过定点构造垂直平面（先作投影，再过定点作投影的垂线） 模块一 平行的证明以及应用 题型一 证明线面平行的几种常用方法 【例题讲解】 母题：如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，AB∥CD，CD＝2AB，E是PC的中点． 方法一：作相交平面找线 1. 证明BE//平面PAD 解析：模型铺垫：AB∥平面βAB∥DE 【简析】若BE//平面PAD，则必有BE//PG，所以所以要证明BE//平面PAD，只需证明BE//PG即可.（中位线） 1. 若F是DC的中点，证明PA//平面BEF 【简析】若PA//平面BEF，则必有PA//EM，所以要证明PA//平面BEF，只需证明PA//EM即可.（中位线） 方法二：BE//平面PAD（正向平移法：构造平行四边形） 【简析】将BE向平面PAD中平移，易知将线段BE沿BA平移，可得E点轨迹，取PD中点M，由平行四边形可得BE∥AM，故BE//平面PAD. （3）方法三：BE//平面PAD（反向平移法：构造面面平行） 【简析】将PD，AD平移，使之与BE共面，可得平面BEH，易知BH∥AD，EH∥PD，则平