2024年中考 数学 专项训练24 微专题　一线三等角模型

微专题　一线三等角模型 一阶 认识模型 模型分析 1．模型特点： (1)∠1，∠2，∠3的顶点在一条直线上； (2)∠1，∠2，∠3之间的关系是________． 2．模型结论： (1)△APC∽△BDP； (2)若在(1)的条件下，增加条件________，可以得到△APC≌△BDP. 例1　如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是BC边上一点，连接AE，DE，若∠BAE＝∠CED，AB＝CE，求证：△AED是等腰直角三角形． 　 例1题图 例2　如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，连接DE，DF，EF，且∠DEF＝60°.若BD＝4，点E为BC的中点，求CF的长． 例2题图 例3　如图，在△ABC中，点D为BC上一点，连接AD，点E为AD上一点，连接BE，若∠BAC＝∠BED，∠BAC＋∠ADC＝180°，求证：△ACD∽△BAE. 例3题图 二阶 构造模型 方法解读 构造一线三垂直 条件：如图，∠ACB＝90°，且点C在直线l上． 辅助线作法：分别过点A，B作AD⊥l，BE⊥l. 结论：若AC＝BC，则△ACD≌△CBE，DE＝AD＋BE； 若AC≠BC，则△ACD∽△CBE. 例4　如图，点D，C，E在直线l上，点A，B在l的同侧，AC⊥BC，若AD＝AC＝BC＝BE＝5，CD＝6，求CE的长． 例4题图 方法解读 构造一线三等角 条件：如图，点A，B，D在同一直线上，且∠CAB＝∠CBE. 辅助线作法：过点D作∠BDF＝∠CAB，DF交BE于点F. 结论：若AC＝DB或AB＝DF或CB＝BF，则△ABC≌△DFB，AD＝AC＋DF； 若AC≠DB或AB≠DF或CB≠BF，则△ABC∽△DFB. 例5　如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D是BC上一点，BD＝1，以AD为边向右作等边△ADE，连接CE，∠ECD＝60°，CE＝3，求△ABC的面积． 例5题图 三阶 应用模型 1. 如图，抛物线y＝x2－x－3与x轴交于点A，B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，将直线BC绕点C顺时针旋转45°，与抛物线交于点D，求点D的坐标． 第1题图 2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝，点E为CD边上一点，将△BCE沿BE折叠，使得点C落到矩形内点F的位置，连接AF，tan ∠BAF＝. (1)求点F到AB的距离； (2)求CE的长． 第2题图 基础练习 1. 如图，在矩形ABCD中，点 E，F 分别在边CD，BC上，且AE⊥EF 于点 E，AD＝6，EC＝2，EF＝3，则AE的长为(　　) A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 第1题图 2. 如图，在四边形ABCD中，AD＝4，AB＝10，点 E是AB的中点，连接DE，CE，若∠A＝∠B＝∠DEC，则的值为________． 第2题图 3. 如图，在等边三角形ABC中，放置等边三角形DEF，且点D，E分别落在AB，BC上，AD＝5，连接CF，若CF 平分∠ACB，则BE的长为________． 第3题图 4. 如图，在四边形ABCD中，点 E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C. (1)求证： ∠EAD＝∠EDA； (2)若∠C＝60°，DE＝4 时，求△AED的面积． 第4题图 5. 如图，AB为⊙O的直径，点C是AB延长线上一点，点D是 ⊙O 上一点，连接AD，DC，且AD＝DC，过点O 作OE∥AD交DC于点 E，若 ∠A＝30°，AB＝4，求CE的长． 第5题图 6. 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在△ABC外部且AD⊥CD. (1)如图①，若BE∥AD交CD于点 E，连接AE，求证：AD＝DE； (2)如图②，连接BD，点 F 在BD上且∠AFC＝90°，若AF＝3，求△ABF的面积． 图① 图② 第6题图 7. 如图，已知抛物线y＝－x2＋x＋2 与x轴交于点A，B，与y轴交于点C. 点M是线段BC上的动点，点 N是线段BC上方抛物线上的动点，若∠CNM＝90°，且△CMN与△OBC相似，试求此时点 N的坐标． 第7题图 ( 第 1 页 共 17 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 微专题　一线三等角模型 一阶　认识模型 【模型分析】 1. (2)∠1＝∠2＝∠3. 2. (2)CP＝PD或AP＝BD或AC＝BP. 例1　证明：在△ABE和△ECD中， ， ∴△ABE≌△ECD(ASA)， ∴AE＝ED， ∵∠BAE＋∠AEB＝90°，∠BAE＝∠CED， ∴∠CED＋∠AEB＝90°， ∴∠AED＝90°， ∵AE＝ED，∠AED＝90°， ∴△AED是等腰直角三角形． 例2　解：∵△AB