2024年中考 数学 专项训练23 微专题　全等、相似三角形简单模型的应用

微专题　全等、相似三角形简单模型的应用 一阶 认识模型 一、全等平移型 模型分析 基本模型 解题关键 (1)加共线部分CE，得BC＝EF； (2)利用平行线性质找对应角相等 例1　如图，四边形ABCD和四边形ABEF均是平行四边形，求证：△ADF≌△BCE. 　 例1题图 二、全等自转旋转型 模型分析 基本模型 共顶点 不共顶点 解题关键 (1)共顶点：利用共顶点的角找对应角相等； (2)不共顶点：①利用公共部分找对应边相等；②利用平行线性质找对应角相等 例2　如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AE与BD为△ABC的高，AE交BD于点F.求证：AF＝BC. 例2题图 三、全等轴对称(翻折)型 模型分析 基本模型 有公共边 有公共顶点 解题关键 (1)找公共角、垂直、对顶角、等底角等条件得对应角相等； (2)找公共边、中点、等腰、相等边、线段的和差等条件得对应边相等 例3　如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，过点A作BC的垂线，垂足为E，点F是BC上一点，且AB＝BF，连接DF，AE交BD于点G.求证：∠AGD＝∠ADG. 例3题图 四、相似A字型 模型分析 基本模型 正A字型 斜A字型 解题关键 找同侧的一组相等角 找异侧的一组相等角 变式1　如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是AC边上一点，连接BD，AC＝2AB＝4AD，若BD＝，求BC的长． 变式1题图 变式2　如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝13，AE为BC边上的高(BE<CE)，AE＝6，求BE的长． 变式2题图 五、相似8字型 模型分析 基本模型 正8字型 斜8字型 解题关键 找对顶角之外的另一组角相等，或对顶角的两边对应成比例 例4　如图，在四边形ABCD中，∠ADB＝∠ACB＝90°，若∠DAC＝30°，求的值． 例4题图 变式1　如图，在▱ABCD中，AF∶BF＝2∶1，连接DF，交AC于点E，AC＝12，求AE的长． 变式1题图 二阶 应用模型 1. 如图，在矩形ABCD中，点E为BC上一点，过点A作AF⊥DE，交DE于点G，BE＝GE，求证：AG＝CD. 第1题图 2. 如图，△ACB和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点B，D，E在同一直线上，AF为△ADE的高，连接CE.若BE＝10，AF＝3，求CE的长． 第2题图 3. 如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AC，使得AC＝AB，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E，若AB＝2，求CE的长． 第3题图 4. 如图，抛物线y＝x2＋2x－3与x轴正半轴交于点A，直线y＝－2x＋2经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线在第二象限交于点E，点P是y轴上一点，若△DEP与△AOD相似，求点P的坐标． 第4题图 1.如图，在△ABC中，点D，E为边AB的三等分点，点 F，G 在边BC上，AC∥DG∥EF，点 H为AF 与DG的交点．若AC＝12，则DH的长为(　　) A. 1 B. C. 2 D. 3 第1题图 2. 如图，在 Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一点，以AD为直角边作等腰 Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，连接CE.若∠BAD＝22.5°，则CE的长为________． 第2题图 3. 如图，在▱ABCD中，点 E是AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F. (1)求证：AF＝AB； (2)点 G 是线段AF 上一点，满足∠FCG＝∠FCD，CG 交AD于点 H，若AG＝2，FG＝6，求 GH的长． 第3题图 4. 如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是AB上一点，连接CD，过点B作BF⊥CD，与CD的延长线交于点 E，与CA的延长线交于点 F，连接AE，过点A作AG⊥AE交CD于点 G. (1)求证：CD＝BF ； (2)如图②，若点D是AB的中点，求证：DG＝DE＋BE. 图① 图② 第4题图 微专题　全等、相似三角形简单模型的应用 一阶　认识模型 例1　证明：如解图，设BE交AD于点G， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠AGB＝∠CBE， ∵四边形ABEF是平行四边形， ∴AF∥BE，AF＝BE， ∴∠DAF＝∠AGB， ∴∠CBE＝∠DAF， 在△ADF和△BCE中， ， ∴△ADF≌△BCE(SAS). 例1题解图 例2　证明：∵AE与BD为△ABC的高， ∴∠BDA＝∠BDC＝∠AEB＝90°， ∵∠BAC＝45°， ∴∠ABD＝∠BAC＝45°， ∴AD＝BD， ∵∠BFE＝∠AFD， ∴∠