2024年中考 数学 专项训练22 遇到角平分线如何添加辅助线

遇到角平分线如何添加辅助线 一阶 方法训练 方法一　遇角一边的垂线，考虑角平分线定理 方法解读 情形　过角平分线上的点作角一边的垂线 如图，点P是∠MON平分线上的一点，PA⊥OM. 结论：AP＝BP，Rt△AOP≌Rt△BOP. 例1　如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE⊥AC于点E，若AC＝6，BC＝5，DE＝2，则△ABC的面积为______． 例1题图 例2　 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AO平分∠BAC交BC于点O，以点O为圆心，OB长为半径作圆，交AC于点D，若BC＝8，CD＝4，则OB的长为________． 例2题图 方法二　遇角平分线的垂线，考虑等腰三角形三线合一性质 方法解读 情形　过角平分线上的点作角平分线的垂线 如图，点P是∠MON平分线上的一点，AP⊥OP于点P. 结论：△AOB是等腰三角形． 例3　如图，△ABC的面积为16，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ACD的面积为________． 例3题图 例4　如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD交BD的延长线于点E，点D恰好为BE的中点，若AB＝2，则BC的长为________． 例4题图 方法三　遇角平分线(或边)上一点，考虑作平行线构造等腰三角形 方法解读 情形1.过角平分线上的点作边的平行线 如图，点P在∠AOB的平分线上． 结论：OQ＝PQ，△POQ是等腰三角形． 情形2.过边上的点作角平分线的平行线 如图，OC是∠AOB的平分线，点D是OA上的一点． 结论：OD＝OE，△EOD是等腰三角形． 例5　如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作BC的垂线，垂足为E，若DE＝2，则BE的长为______． 例5题图 例6　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，BD平分∠ABC交AC于点D，则BD的长为______． 例6题图 方法四　利用对称构造轴对称型全等三角形 方法解读 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC. 截长法：在AC上截取AE＝AB，连接DE. 结论：△ABD≌△AED. 补短法：延长AB至点F，使得AF＝AC，连接DF. 结论：△AFD≌△ACD. 例7　如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BD的中点，若AB＝2BC，AD＝5，求CE的长． 例7题图 二阶 综合训练 1. 如图，在△ABC中，∠ACB＝30°，CD为∠ACB的平分线，E为AC边上一点，连接DE，∠CDE＝105°，若CE＝6，则DE的长为________． 第1题图 2.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB上一点，∠AED＝∠C，若AD＝4，AE＝5，DE＝6，则BC的长为________． 第2题图 3. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E，F分别在AB，AC上，连接DE，DF，若∠BAC＋∠EDF＝180°，求证：DE＝DF. 第3题图 1. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，过点D分别作DE∥BC交AC于点E，作DF⊥BC于点F，若DF＝4，DE＝5，则△CDE的面积为(　　) A. 8 B. 10 C. 12 D. 20 第1题图 2. 如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝6，BD平分∠ABC，则的值为________． 第2题图 3. 如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，CE⊥BE，若AE＝2，则BC的长为________． 第3题图 4. 如图，⊙O 是△ABC的外接圆，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，交⊙O 于点E，连接AE，CE，若AB＝3，BC＝1，求BE的长． 第4题图 5. 如图，在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至点E，使DE＝AD，连接CE.求证：BC＝AB＋CE. 第5题图 ( 第 1 页 共 12 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 遇到角平分线如何添加辅助线 一阶　方法训练 例1　11　【解析】如解图，过点D作DF⊥BC于点F，∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，∴DF＝DE＝2，∵AC＝6，BC＝5，DE＝DF＝2，∴S△ABC＝BC·DF＋AC·DE＝×5×2＋×6×2＝11. 例1题解图 例2　3　【解析】如解图，连接OD，∵AO平分∠BAC，∠ABC＝90°，OB＝OD，∴∠ADO＝90°，设OB＝OD＝x，则OC＝8－x，在Rt△OCD中，x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3，∴OB的长为3. 例2题解图 例3　8　【解析】如解图，延长BD交AC于点E，∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，∴∠BAD＝∠EAD，∠BDA＝∠EDA＝90°，