平面向量的最值问题提升练-2024届高考数学一轮基础知识复习

平面向量的最值问题 一、单选题 1．已知中，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．在中， ，点是所在平面内一点，则当取得最小值时， A．9 B． C． D． 3．中，，，，PQ为内切圆的一条直径，M为边上的动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．如图,，点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在四边形ABCD中，，若，，，则等于（    ） A． B． C． D． 6．在中，有，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 7．在中，为上的中线，为的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点A，B，C），且M，N，G三点共线，若，，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 8．已知平面向量，，满足，，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C．, D．, 9．已知平面向量，满足，记与夹角为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 10．在中，，点在线段（含端点）上运动，点是以为圆心，1为半径的圆及内部一动点，若，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 11．在矩形中，，，，分别是，上的动点，且满足，设，则的最小值为（    ） A．48 B．49 C．50 D．51 12．设，，为平面向量，，若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 13．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦AC，BD均过点P，则下列说法正确的是（    ） A．为定值 B．的取值范围是 C．当时，为定值 D．时，的最大值为12 14．在平行四边形中，对角线与交于点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若为的中点，与交于点，则 C．若，，则 D．若，，，为上的动点且，则的最小值为4 15．已知向量 满足，，， .则下列说法正确的是（    ） A．若点P在直线AB上运动，当取得最大值时，的值为 B．若点P在直线AB上运动， 在上的投影的数量的取值范围是 C．若点P在以r = 为半径且与直线AB相切的圆上，取得最大值时，的值为3 D．若点P在以r = 为半径且与直线AB相切的圆上，的范围是 16．正方形ABCD的边长为4，E是BC中点，如图，点P是以AB 为直径的半圆上任意点，，则（    ） A．最大值为1 B．·最大值是8 C．最大值为 D．最大值是 三、填空题 17．已知向量，满足，，若，且，则的最大值为 18．已知平面向量，，满足，，，与的夹角是，则的最大值为 . 19．已知平面向量、、满足，，，，则最大值为 . 20．已知平面向量，，满足，，，则的取值范围是 . 21．已知是平面向量，且是互相垂直的单位向量，若对任意均有的最小值为，则的最小值为 ． 22．已知向量满足，，若关于的方程有解，记向量的夹角为，则的取值范围是 . 四、问答题 23．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．AD为BC边上的中线，点E，F分别为边AB，AC上动点，EF交AD于．已知，且．    (1)求边的长度； (2)若，求的余弦值； (3)在（2）的条件下，若，求的取值范围． 参考答案： 1．C 如图， 由平面向量的加法法则可得是点到的距离， 依题意得为等腰直角三角形，斜边为斜边的两个四等分点， 因为，且， 所以点在线段上运动， 由图易得，当点在点处时，取得最小值， 由余弦定理，得， 所以. 2．B 等价于等价于等价于,以为坐标原点，直线AB，AC分别为轴,轴建立平面直角坐标系，则，设， 则，所以最小，此时， ， ， ;故选B. 3．C 由题可知，，所以是直角三角形，， 设内切圆半径为，则，解得， 设内切圆圆心为，因为是内切圆的一条直径， 所以，， 则，， 所以， 因为M为边上的动点，所以；当与重合时，， 所以的取值范围是， 4．B 如图，， 点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动， 且.， 由向量加法的平行四边形法则， 为平行四边形的对角线， 该四边形应是以与的反向延长线为两邻边， 当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上， ， 的取值范围为. 5．A ，故；，故， ； 6．D 因为， 所以， 又，， 所以 又，，， 所以， 即， ， 当且仅当即时取等号， 显然为锐角，要使取最大值，则取最小值，此时， 所以，即的最大值是． 7．D 由题意， 设，， 则， 所以，，