贵州省贵阳市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷

贵阳市普通中学2023-2024学年度第一学期期末监测试卷 高二数学 2024.1 注意事项： 1.本试卷共6页，满分100分，考武时间120分钟， 2.答案一律写在答题卡上，写在试卷上的不给分 3.考试过程中不得使用计算器. 一､选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填写在答题卷的相应位置上.） 1. 抛物线准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 设，空间向量，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 3 3. 已知为等差数列的前项和，若，则（ ） A. 76 B. 72 C. 36 D. 32 4. 圆与圆相交于两点，则线段的垂直平分线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. ， C. D. 6. 点，点在轴上，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. 4 D. 7. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 12或3 B. 1或 C. 12 D. 8. 我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”，称离心率为的双曲线为“黄金双曲线”，则下列说法正确的是（ ） A. 正中，分别是的中点，则以为焦点，且过的椭圆是“黄金椭圆” B. 已知为正六边形，则以为焦点，且过的双曲线是“黄金双曲线” C. “黄金椭圆”上存在一点，该点与两焦点的连线互相垂直 D. “黄金双曲线”的实半轴长，一个焦点到一条渐近线的距离，半焦距能构成等比数列 二､多项选择题（本题共2小题，每小题4分，共8分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，部分选对得2分，有选错得0分.） 9. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 数列递增数列 B. C. 数列的最小项为 D. 数列是等差数列 10. 已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.如图，在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且.则下列结论正确的是（ ） A. 线段是异面直线与的公垂线段 B. 异面直线与的距离为 C. 点到直线的距离为 D. 点到平面距离为 三､填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置上.） 11. 已知直线和直线互相垂直，则实数等于__________. 12. 已知，则向量夹角为__________. 13. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________ 14. 双曲线的两个焦点为，为双曲线上一点，若，则的面积为__________. 15. 长为3的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，点为线段靠近点的三等分点，则点的轨迹方程为__________.若直线的方程为，则点到直线的距离的最小值为__________. 四､解答题（本大题共4小题，每小题8分，共32分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16. 已知数列的前项和为，若. （1）求，试猜想数列的通项公式并证明； （2）记，求的前项和. 17. 已知双曲线的两个焦点的坐标分别是，且双曲线经过圆的圆心. （1）求的值； （2）设圆与双曲线的渐近线交于两点，求. 18. 直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点（其中点在轴上方）. （1）若，求直线的倾斜角； （2）若原点到直线的距离为，求以线段为直径的圆的方程. 19. 如图，三棱柱中，平面. （1）求证：； （2）若，直线与平面所成的角为，求平面与平面的夹角余弦值. 五､阅读与探究（本大题1个小题，共8分.解答应写出文字说明，条理清晰.） 20. 阅读材料： 在平面直角坐标系中，若点与定点（或的距离和它到定直线（或）的距离之比是常数，则，化简可得，设，则得到方程，所以点的轨迹是一个椭圆，这是从另一个角度给出了椭圆的定义.这里定点是椭圆的一个焦点，直线称为相应于焦点的准线；定点是椭圆的另一个焦点，直线称为相应于焦点的准线. 根据椭圆的这个定义，我们可以把到焦点的距离转化为到准线的距离.若点在椭圆上，是椭圆的右焦点，椭圆的离心率，则点到准线的距离为，所以，我们把这个公式称为椭圆的焦半径公式. 结合阅读材料回答下面的问题： 已知椭圆的右焦点为，点是该椭圆上第一象限的点，且轴，若直线是椭圆右准线方程，点到直线的距离为8. （1）求点的