（新课衔接）专题05 多边形的内角和与外角和-2023-2024学年七年级数学下学期寒假学习精讲练（苏科版）

2023-2024学年苏科版数学七年级寒假学习精讲练讲义 专题05 多边形的内角和与外角和 1.理解多边形的概念； 2.掌握多边形内角和与外角和公式； 3.灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力. 知识点01：多边形的概念 1． 定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联接结所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形。如图： 4. 凸多边形 凹多边形 要点诠释： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为； (3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形． 知识点02：多边形内角和定理 n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 要点诠释： (1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 知识点03：多边形的外角和 多边形的外角和为360°． 要点诠释： (1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数． 知识点01：三角形内角和定理 【典例讲解】（2023秋•东河区期末）问题引入： （1）如图1，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝40°，则∠BOC＝ 若∠A＝α，则∠BOC＝　 （用α表示）； （2）如图2，，∠BCO＝，若∠A＝α，则∠BOC＝　 　（用α表示），填空并说明理由； 【思路点拨】（1）求出∠ABC+∠ACB的度数，根据平分线的定义得出∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，求出∠OBC+∠OCB的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论；同理可得∠A＝α时∠BOC的度数； （2）根据三角形内角和定理用α表示出∠OBC+∠OCB的度数，进而可得出结论． 【完整解答】解：∵∠A＝40°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝140°， ∵BO、CO分别是△ABC的角∠ABC、∠ACB的平分线， ∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝70°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣70°＝110°； 同理，当∠A＝α时，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣α， ∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣α， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α； 故答案为：110°，90°+α； （2）∵∠A＝α， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣α， ∵，∠BCO＝， ∴∠CBO+∠BCO＝（∠ABC+∠ACB）＝60°﹣α， ∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝180°﹣60°+α＝120°+α． 【考点剖析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解题的关键． 【变式训练1-1】（2023秋•佛山期末）在探究证明“三角形的内角和等于180°”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于180°”的是（　　） A．如图①，过点C作EF∥AB B．如图②，延长AC到F，过点C作CE∥AB C．如图③，过AB上一点D作DE∥BC，DF∥AC D．如图④，过点D作DE∥BC 【变式训练1-2】（2023秋•松江区期末）如图，在△ABC中，已知BD