第28练 专题综合训练 正、余弦定理及平面向量 …-【高考高手】备战2024年新高考数学必刷小题（新高考Word版）

第28练　专题综合训练　正、余弦定理及平面向量 [footnoteRef:2]打卡日期:　　　建议用时:90分钟　实际用时:　　　是否过关:□　答案见P178  [2: [归纳总结]向量的夹角问题 (1)“向量a与b的夹角为钝角”等价于“a·b<0且a,b不共线”. (2)“向量a与b的夹角为锐角”等价于“a·b>0且a,b不共线”. (3)向量的夹角首先使两个向量共起点,在△ABC中,<,>=π-B,而不是角B.] 【1】(2023·宜昌模拟)设向量a=(1,x),b=(x,9),若a∥b,则x等于(　　) 　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　 A.-3 B.0 C.3 D.3或-3 2(2023·包头质检)若向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a⊥(a+b),则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 【3】(2023·泰州阶段检测)如图,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m,=n,则m+n等于(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【4】(2023·日照模拟)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,且=3,则·的值为(　　) A.- B. C.1 D.-8 【5】(2023·岳阳模拟)在一个边长为2的等边△ABC中,若点P是平面ABC内的任意一点(包括边界),则·的最小值是(　　) A.- B.- C.-1 D.- 【6】(2023·重庆模拟)在△ABC中,sin A=,AC=,B=45°,则BC等于(　　) A.2 B. C.2 D.2 【7】(2023·南昌模拟)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=3,c=2,△ABC的面积为2sin B,则cos A等于(　　) A. B. C. D. 【8】(2023·郑州模拟)2021年11月,郑州二七罢工纪念塔入选全国职工爱国主义教育基地名单.某数学建模小组为测量塔的高度,获得了以下数据:甲同学在二七广场A地测得纪念塔顶D的仰角为45°,乙同学在二七广场B地测得纪念塔顶D的仰角为30°,塔底为C(A,B,C在同一水平面上,DC⊥平面ABC),测得AB=63 m,∠ACB=30°,则纪念塔的高CD为(　　) A.40 m B.63 m C.40 m D.63 m 【9】(2023·黄石调研)设△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,tan A=,且B为钝角,则sin A+sin C的取值范围是(　　) A., B., C., D.0, 【10】(多选)(2023·宁波模拟)一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°方向,距离12海里,灯塔C在A的北偏西30°方向,距离为12海里,该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向,下面结论正确的有(　　) A.AD=24 B.CD=12 C.∠CDA=60°或∠CDA=120° D.∠CDA=60° [footnoteRef:3]【11】(多选)(2023·宁波模拟)已知△ABC三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ccos A+asin C=0,若角A的角平分线交BC于D点,且AD=1,则下列结论正确的是(　　) [3: [归纳总结]向量在平面几何中的应用 (1)用平面向量解决平面几何问题时,常常建立平面直角坐标系,这样可以使向量的运算更简便一些.在解决这类问题时,共线向量定理和平面向量基本定理起主导作用. (2)工具作用:利用a⊥b⇔a·b=0;a∥b⇔a=λb(b≠0),可解决垂直、平行问题,特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到. [归纳总结]解三角形的应用问题的要点 (1)从实际问题抽象出已知的角度、距离、高度等条件,作为某个三角形的元素. (2)利用正弦、余弦定理解三角形,得实际问题的解.] 　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　 A.A= B.A= C.b+c的最小值为2 D.b+c的最小值为4 12(多选)(2023·南昌模拟)已知O是△ABC的外心,若··+··=2m,且2sin B+sin C=,则实数m可取的值为(　　) A. B. C. D.1 【13】(2023·枣庄模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=60°,b=1,S△ABC=,则等于(　　) A. B. C. D.2 【14】(2023·马鞍山模拟)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设(sin B+sin C)2=sin2A+(2-)sin Bsin C,sin A-2sin B=0,则sin C等于(　　) A. B. C. D. 15(2023·南通模拟)图1是南北方向水