第2练 常用逻辑用语-【高考高手】备战2024年新高考数学必刷小题（新高考Word版）

第2练　常用逻辑用语 [footnoteRef:2]答案见P139 [2: [归纳总结]充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断,适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法:根据p,q对应的集合之间的包含关系进行判断,多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. [解题技巧] 等价转化将sin2α+sin2β=1变为sin2α=cos2β,判断必要性,再取特殊值判断充分性.] 打卡日期:　　　建议用时:15分钟　实际用时:　　　是否过关:□  1(2023·全国新高考1,7,5分,难度★★)设Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙:为等差数列,则(　　) 　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　 A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 2(2023·全国甲,理7,5分,难度★★)设甲:sin2α+sin2β=1,乙:sin α+cos β=0,则(　　) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【3】(2022·北京,6,4分,难度★★★)设{an}是公差不为0的无穷等差数列,则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0,当n>N0时,an>0”的(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案见P140 打卡日期:　　　建议用时:15分钟　实际用时:　　　是否过关:□  【4】(2023·福州模拟)命题“∀a∈R,x2-ax+1=0有实数解”的否定是(　　) A.∀a∈R,x2-ax+1=0无实数解 B.∃a∈R,x2-ax+1=0无实数解 C.∀a∈R,x2-ax+1≠0有实数解 D.∃a∈R,x2-ax+1≠0有实数解 【5】(多选)(2023·沈阳模拟)下列命题中为真命题的是(　　) A.∃x∈R,≤1 B.对于∀x∈R,n∈N*且n>1,都有=x C.∀x∈R,ln(x-1)2≥0 D.∃x∈R,ln x≥x-1 【6】(2023·淮北模拟)“a>b>0”是“>1”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【7】(2023·武汉模拟)已知a,b是两条不重合的直线,α为一个平面,且a⊥α,则“b⊥α”是“a∥b”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2练　常用逻辑用语 真题靶向练 1.C　(充分性)若{an}为等差数列,设其首项为a1,公差为d,则Sn=na1+d,则=a1+d=n+a1-, 故-=,为常数,则为等差数列,则甲是乙的充分条件. (必要性)若为等差数列,设=An+B,A≠0,则Sn=An2+Bn,a1=S1=A+B. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=A(2n-1)+B=2An-A+B.当n=1时也符合上式, 故an=2An-A+B,故{an}为等差数列,则甲是乙的必要条件. 综上,甲是乙的充要条件.故选C. 2.B　由sin α+cos β=0,得sin α=-cos β,等号两边同时平方,得sin2α=cos2β=1-sin2β, 即sin2α+sin2β=1,故必要性成立. 当α=β=时,sin2α+sin2β=1成立,而sin α+cos β=≠0,故充分性不成立. 综上,“sin2α+sin2β=1”是“sin α+cos β=0”的必要条件但不是充分条件.故选B. 3.C　①充分性证明: 若{an}为递增数列,则有对∀n∈N*,an+1>an,公差d=an+1-an>0,an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d). 令an>0,则n>1-.当a1≥0时,取N0=2; 当a1<0时,取正整数N0=-+2其中-为不大于-的最大整数, 则当n>N0时,由于>0,都有an=a1+(n-1)d>a1+-+1d>0,故充分性成立. ②必要性证明: 假设数列{an}的公差d<0. an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d). 令an<0,则n>, 显然当n取比N0和都大的正整数时,an<0. 这与存在正整数N0,当n>N0时,an>0矛盾,所以d>0,即{an}为递增数列,故必要性成立.故选C. 模拟仿真练 4.B　因为全称量词命题的否定是存在量词命题,所以“∀a∈R,x2-ax+1=0有实数解”的否定是“∃a∈R,x2-ax+1=0无实数解”. 5.AD　当x≥0时,0<≤1,故A项是真命题;当n为偶数,且x<0时,=-x,故B项是假命题;当x=