专题20 与圆有关的位置关系（讲义）-备战2024年中考数学一轮复习考点帮（江苏专用）

专题20 与圆有关的位置关系 1．知道三角形的内心和外心； 2．了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线； 3．探索并证明切线长定理。 考点1：点与圆的位置关系 （1）判定一个点P是否在⊙O上 设⊙O的半径为，OP=，则有 点P在⊙O 外；　点P在⊙O 上；点P在⊙O 内. （2）判定几个点在同一个圆上的方法 当时，在⊙O 上. 考点2：直线与圆位置关系 设⊙O 半径为R，点O到直线的距离为. （1）直线和⊙O没有公共点直线和圆相离. （2）直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切. （3）直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交. 考点3：切线的判定与性质 （1）切线的判定： ①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线. （2）切线的性质： ①圆的切线垂直于过切点的半径. ②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. ③经过切点作切线的垂线经过圆心. （3）切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长. （4）切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 考点4：外接圆与内切圆 （1）三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示. （2）三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示. （3）三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示. （4）垂心：是三角形三边高线的交点. 注： （1）任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； （2）解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径) （3） 三角形的外心与内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点 (1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部 内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点 (1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部. 【题型1：点与圆的位置关系】 【典例1】如果⊙O是以原点O为圆心，为半径的圆，则点与⊙O的位置是（） A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O外 C．点A在⊙O上 D．无法确定 1．体育课上，小明在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四个点处，则表示他最好成绩的点是（    ） A．M B．N C．P D．Q 2．如图，在中，点在弦上，于点，则圆心距的长为 ；若点在圆上动，则的最小值= ． 3．一个点到圆的最小距离是，最大距离是，则这个圆的半径长为 ． 4．如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，点O为坐标原点．（网格中小正方形的边长为1） (1)该圆弧所在圆的圆心P的坐标为______； (2)根据（1）中的条件填空： ①的半径为______；（结果保留根号） ②点在______；（填“上”、“内”或“外”） ③连接，则的度数为______. 【题型2：三角形的外接圆】 【典例2】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的外心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 1．如图，点是的内心，也是的外心，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ． 3．在中，，则它的外接圆的半径为 ． 4．如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫格点，点、、在格点上，点是圆与竖直网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线. (1)在图1中画出经过、、三点的圆的圆心，再过点作圆的切线； (2)在图2中先在上作点使得，再作的角平分线. 【题型3：直线与圆的位置关系】 【典例3】在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为5，那么x轴与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 1．已知的半径为3，点O到直线m的距离为d，若直线m与⊙O公共点的个数为2个，则d可取（