数列解答题训练2——2024届高三数学一轮复习

2024年高考数学《数列》解答题训练2 1．（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知数列，，，数列为等比数列，满足，且，，成等差数列. (1)求数列和的通项公式； (2)记数列满足：，求数列的前项和. 2．（2022·湖北武汉·统考模拟预测）记正项数列的前n项和为，且满足对任意正整数n有，，构成等差数列；等比数列的公比，，. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 3．（2022·福建·统考三模）已知等比数列的首项为，前项和为，且成等差数列. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前10项和.（表示不超过的最大整数） 4．（2022·安徽黄山·统考一模）已知数列满足,且. (1)求数列的通项公式; (2)数列满足,,若,求k的值. 5．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知正项数列，其前n项和，满足. (1)求证：数列是等差数列，并求出的表达式； (2)数列中是否存在连续三项，使得构成等差数列？请说明理由. 6．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末）已知正项数列的前项和为，且. (1)求的通项公式; (2)数列的前项和为，且对任意的恒成立，求实数的取值范围.（参考数据: ） 7．（2022·福建福州·统考三模）已知数列的各项均为正数，记为的前项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立. ①；②数列是等差数列；③数列是等比数列； 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 8．（2022·北京石景山·统考一模）若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”． (1)已知数列为4，3，2，1，数列为1，2，6，24，分别判断，是否为“等比源数列”，并说明理由； (2)已知数列的通项公式为，判断是否为“等比源数列”，并说明理由； (3)已知数列为单调递增的等差数列，且，，求证为“等比源数列”． 2024年高考数学《数列》解答题训练2参考答案 1．解：（1）由题意，，，，令得，又数列为等比数列，所以，即数列为公比为等比数列. 所以由可得即，数列是首项为，公差为的等差数列， 数列的通项公式：. 由，，成等差数列，得：，，，有. （2）由（1）知，数列的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列，偶数项是以首项为4，公比为4的等比数列. . 为4，公比为4的等比数列. . 2．解：（1）依题意，，，当时，，当时，，两式相减得：，即，于是得，则数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以；依题意，，有，又，则，又，解得，所以. （2）由（1）知，，，则，，所以. 3．解：(1)因为，，成等差数列，所以， 所以， 即，设的公比为，则， 所以. (2)依题意，，则 . 4．解：（1）解:由题知①, 因为,所以,解得, 当时,②, ①-②可得: , 所以当为奇数时, ,,, 以上式子相加可得: , 化简可得,满足上式， 所以当为偶数时, ,,, 以上式子相加可得: , 化简可得,满足上式， 综上: ; （2）由(1)知, 故, 因为, 所以, 即 , 故, 解得. 5．解：（1）中令得：， 故正项数列中，，即， 当时，，即， 整理得，又， 因此，数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 则，因为是正项数列，即，所以. 当时，，又满足此式， 即，都有； （2）不存在，理由如下： 由（1）中可得：， 假设存在满足要求的连续三项，使得构成等差数列， 则，即， 两边平方，得，即， 整理得：，即，显然不成立，因此假设是错误的， 所以数列中不存在使构成等差数列的连续三项. 6．解：（1）当时， ，解得， 当时，由，得①，②， 由①②得，化简得， 因为，所以， 所以是以1为首项，2为公差的等差数列， 即. （2）由（1）得， 所以， 所以， 带入，可得对任意的恒成立， 只需即可， 令，由，即，解得， 所以，， 故当时，的最大值为， 所以. 7．解：选①②证明③： 设等差数列的公差是，则，又， 所以，即，， 所以，，故是首项为，公比为2的等比数列， 所以，即. 设，则，，又， 所以是首项是，公比为2的等比数列. 选①③证明②： 设等比数列的公比是， 所以，又，则，又， 所以数列的通项公式为，则. 当时，，又时，符合上式， 所以，，故， 所以是等差数列. 选②③证明①： 因为数列是等差数列，则为常数，， 所以为常数，，即为常数，， 令，则为首项为，公比为的等比数列， 此时. 因为数列是等比数列，则， 故，即， 化简得，因为，解得， 所以，即. 8．解：（1）是“等比源数列”，不是“等比源数列”． 中“”构成等比数列，所以是“等比源数列”； 中“”，“”，“”，“”均不能构成等比数列，所以不是“等比源数列”． （2）不是“等比源数列”． 假设是“等比源数列”，因为是单调递增数列，即中存在的 （）三项成